Page 378 - Álgebra

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A p l ic a c ió n 17 A p l ic a c ió n 18
Resuelva la inecuación 3x*-2x+8 > 0. Halle la variación de m si x2+6x+/r? > 0; Vx e R .

R e s o l u c ió n R e s o lu c ió n
Calculamos el discriminante. La relación x¿+6x+m>0'l V x e R, se cumple

A=(-2)2-4(3)(8)=-92 si y solo si

£7 = 1 >0 A A < 0
El coeficiente principal es a=3.

Como a > 0 y A < 0, entonces la cuadrática Resolvamos A < 0.
3xz-2x+8 es de signo positivo para todox e R.
A=62-4(1)(m) < 0
En la inecuación buscamos que 3x2-2x+8 sea
36-4/77 < 0
mayor que cero, es decir, positivo, lo cual ocu­
4/77 >36 —» m > 9
rre para todo valor real de x.

CS=R /. m e <9; +<*>)

3,1.4.Resumen de.todos los^:asoj^ ^ ,A . \ j?
En el siguiente cuadro se resumen todos los casos que se presentan en una inecuación cuadrática.

' ' ' '3 f ------ .

•?.'»/ . 4) (»1

PM=l*-a)t*-P)conayPrealésyd¡- .. Q cs=(;a; p)
ferentes (a<P). Usamos'el método-/ v
Primer caso de puntos críticos. "c * CS-[a, p]
A > 0 PM> 0 -» CS=(-oo; a>u(p;+oo)
M
PMa0 CS=(— a] u tP; +°°)

• (x-a)2 <0 -> CS=0

Segundo caso PMes un cuadrado perfecto. (x-a)2 < 0 CS={a}
> ii o PM=(x-a)2, dondeaeR. (x-a)2 £ 0 -> CS=R

• (x-a)2>0 —> CS=R-{a)
• x2 + mx + n > 0 -> CS=R

• X2+/7)X + /7^0 —> CS=R

Debido al teorema del trinomio --v--— '
Tercer caso
positivo, la cuadrática PM=x2+/77x+/7
A <0 es de signo positivo para todo x e R. x2+mx + n<0 -> CS=<>
■>
v .. ---v ■ ■■ ■
x2+/77x + n^0 -> CS=<>
•