Page 101 - Dialectica

La negaci´ on

Funciones mon´ otonas y mon´ otonas inversas
Las nociones de funciones con monoton´ ıa o monoton´ ıa inversa son
ideas previas para el estudio de las negaciones.

Definici´ on 15 Una funci´ on f(x) definida en un reticulado se lla-
ma mon´ otona si para x ≤ y, pertenecientes al reticulado, entonces
f(x) ≤ f(y); se llama mon´ otona inversa si f(x) ≥ f(y).

Tambi´ en se suele hablar de que la funci´ on conserva o invierte el or-
den en el reticulado como expresiones equivalentes a la monoton´ ıa. El
concepto de automorfismo est´ a relacionado estrechamente con el con-
cepto de monoton´ ıa: el automorfismo conserva el orden en el reticu-
lado. Por esta estrecha vinculaci´ on se puede demostrar el teorema si-
guiente.

Teorema 14 Si una transformaci´ on de un reticulado L en L, posee in-
versa y es mon´ otona, es un automorfismo.

Demostraci´ on. Sea A la transformaci´ on y A −1 su inversa, ambas
que conservan el orden. Puesto que se tiene para todo par de elementos
del reticulado x+y ≥ x sigue de la monoton´ ıa A(x+y) ≥ A x. En for-
ma similar se obtiene A(x + y) ≥ A y y por la monoton´ ıa de la suma,
se tiene A(x+y) ≥ A x+A y. Si aplicamos esta ecuaci´ on a A −1 sobre
los valores A x, A y se tiene A −1 (A x+A y) ≥ A −1 A x+A −1 A y =
x + y y aplicando A a esta ecuaci´ on resulta A x + A y ≥ A(x + y) y
de aqu´ ı, como resultado final se obtiene A(x + y) = A x + A y. En
forma dual se demuestra la ecuaci´ on del producto y queda demostrado
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