Page 106 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 19 La composici´ on de negaciones posee las siguientes propie-
dades:

1. El producto de un n´ umero par de negaciones es un automorfis-
mo en L; el producto de un n´ umero impar de negaciones es una
negaci´ on en L.
2. Cada negaci´ on de L se puede obtener como el producto de una
negaci´ on fija N 0 cualquiera, por cada un automorfismos de L.

3. Si N 1 y N 2 son dos negaciones en L entonces N 3 = N −1 N 2 N 1
1
es una negaci´ on. Si N 2 es una negaci´ on estricta, entonces N 3
tambi´ en lo es.

4. Si N es una negaci´ on y A un automorfismo, entonces A −1 N A
tambi´ en es una negaci´ on. Si la negaci´ on es estricta, A −1 N A
tambi´ en lo es.

5. Si N es una negaci´ on estricta, N −1 tambi´ en lo es.

Demostraci´ on. Lo demostraremos ordenadamente.

1. Esta afirmaci´ on es inmediata por las propiedades de monoton´ ıa.

2. Si consideramos una negaci´ on particular N 0 y una negaci´ on cual-
quiera N, es claro que N = (N N −1 ) N 0 donde A = N N −1 es
0 0
un automorfimo tal como se deb´ ıa demostrar.
3. Por la propiedad 1, N 3 es una negaci´ on. Tambi´ en se puede de-
mostrar directamente. Consideremos

N 3 (x + y) = N −1 N 2 N 1 (x + y) = N −1 N 2 (N 1 x . N 1 y) =
1 1
= N 1 −1 (N 2 N 1 x + N 2 N 1 y) =
= N 1 −1 N 2 N 1 x . N 1 −1 N 2 N 1 y = N 3 x . N 3 y

De igual manera se demuestra que N 3 (x . y) = N 3 x + N 3 y.
Si N 2 es una negaci´ on estricta, se tiene, para todo x que x +
N 2 x = 1. Multiplicando a la izquierda por N 1 −1 y a la derecha
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