Page 109 - Dialectica

La negaci´ on

Teorema 19 N N i N −1 es una negaci´ on, luego queda demostrado. La
propiedad 3 es consecuencia de 1 y 2.

Ejemplos en D3

A los efectos de fijar las ideas expuestas, consideremos el reticulado
hegeliano D3 de la Figura 2 y la negaci´ on definida como: N 0 = 1, N 1
= 0, N t = a, N a = s, N s = t, donde t, a, s son, respectivamente,
tesis, ant´ ıtesis y s´ ıntesis. Empleando la notaci´ on de sustituciones, esta
negaci´ on se puede escribir como:

N = (0 1)(t a s).

Puesto que una negaci´ on en L es una permutaci´ on de sus elemen-
tos, se puede emplear una notaci´ on similar a la empleada en los grupos
de sustituciones. De esta manera se indica que 0 se transforma en 1 y
rec´ ıprocamente, as´ ı como se indica que t se transforma en a, ´ este en
s y ´ este en t. Cada lista encerrada en un par´ entesis indica un ciclo ce-
rrado. Si alg´ un elemento no aparece, significa que es transformado en
s´ ı mismo por la operaci´ on.
En el reticulado considerado se pueden definir 6 negaciones que
corresponden a las 6 posibles permutaciones de los elementos t, a, s.
Estas negaciones son:

(0 1) (0 1)(t a) (0 1)(t s) (0 1)(a s) (0 1)(t a s) (0 1)(t s a).

Las dos ´ ultimas negaciones son estrictas. Los automorfismos tambi´ en
son 6 y son:
I (t a) (t s) (a s) (t a s) (t s a)

donde I es la transformaci´ on id´ entica. El conjunto de las 12 transfor-
maciones forman un grupo algebraico 108 que designamos como G L , el
grupo de transformaciones del reticulado L.
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Un grupo es un conjunto de elementos G, tal que si x, y ∈ G, entonces est´ a definida
una operaci´ on producto x y, asociativa –pero no necesariamente conmutativa– y existe
un elemento I ∈ G con la propiedad I x = x I = x. Adem´ as, todo elemento x posee
un elementos inverso x −1 tal que x x −1 = x −1 x = I.
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