Page 114 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Para x = 1 vale (M + a) . (a + M) . b = b. Si x ≤ M la funci´ on
vale (x + a) . M . b = 0. Si x no es comparable con M la funci´ on vale
a . (a . x + M) . b = 0. Consideremos ahora todos los m´ aximos M i del
reticulado y sumemos todas las funciones f i , entonces:

U(x, 1) = f 1 (x, M 1 ) + · · · + f n (x, M n )

puesto que para x 6= 1 vale 0 porque todos los sumandos valen 0. Para
x = 1 vale 1 por ser suma de todos los ´ atomos del reticulado, como se
deb´ ıa demostrar. Es claro que la funci´ on U(x, 0) = U(N x, 1) vale 1
solamente cuando N x = 1, luego solamente cuando x = 0.

Teorema 25 En todo reticulado dial´ ectico rDn con rango que cumpla
2 ≤ r < n − 1 se puede construir la funci´ on unitaria U(x, p), donde
p es un elemento cualquiera del reticulado.

Demostraci´ on. El teorema ya est´ a demostrado para 0 y 1. Sean a i y
M j respectivamente los s ´ atomos y los t m´ aximos que cumplen a i ≤ p
y M j ≥ p. Sea la funci´ on:

g(x) = U(a 1 . x, 0) + · · · + U(a s . x, 0).

La funci´ on g(x) –que solamente puede tomar los valores 0 o 1– es 0
si todos los sumandos son 0 para lo cual debe ocurrir que todos los
productos a i . x deben ser diferentes de 0. Puesto que los a i son ´ atomos,
debe ocurrir que a i . x = a i o sea x ≥ a i o sea x ≥ a 1 + · · · + a s = p.
Rec´ ıprocamente, si x ≥ p la funci´ on vale 0 porque todos los productos
con los ´ atomos son diferentes de 0. Por el contrario, para todo otro
valor de x, la funci´ on vale 1. Sea ahora la funci´ on:

h(x) = U(M 1 + x, 1) + · · · + U(M t + x, 1).

La funci´ on h(x) –que solamente puede tomar los valores 0 o 1– es 0 si
todos los sumandos son 0 para lo cual debe ocurrir que todos las sumas
M j + x deben ser diferentes de 1. Puesto que los M j son m´ aximos, se
debe cumplir que M j + x = M j de donde se deduce que x ≤ M j o
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