Page 118 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

, igual que antes, esta funci´ on es el produc-
Consideremos el caso U d 1 d 2
(y). Para demostrar que estas
to de las funciones simples D d 1 (x) . D d 2
funciones existen, por ejemplo la primera de ellas, consideremos un
elemento dial´ ectico a del cual sabemos que existe la funci´ on unitaria
U(x, a). Se tiene entonces que:
p
(x) = U(x, a) + U(x, A a) + · · · + U(x, A a)
D d 1
0
p
donde I = A , A, . . . , A son todos los automorfismos del reticulado
y, por lo tanto, generan todos los valores de igual nivel l´ ogico de dial 1 .
Los mismo ocurre para dial 2 .
De igual manera que en el caso simple, la descomposici´ on de una
funci´ on –como suma de funciones mediante las funciones unarias– es
´ unica. En el caso de una funci´ on invariable en la rotaci´ on, cada una de
las funciones componentes tambi´ en debe serlo.

El grupo de negaciones y automorfismos

La siguiente definici´ on establece la cualidad esencial de las funcio-
nes definidas en un reticulado: su invar´ ıancia en un automorfismo.

Definici´ on 22 Sea f(x, . . . , z) una funci´ on del reticulado L y A un
un automorfismo no trivial A del reticulado. Se dice que f es invarian-
te en A si se verifica A f(x, . . . , z) = f(A x, . . . , A z).

Esta propiedad es equivalente a este diagrama funcional (por sen-
cillez, est´ a representado en una ´ unica variable):
F
x → F(x)
A ↓ ↓ A
y → F(y)
F

Teorema 29 Si funci´ on f(x, . . . , z) en un reticulado es invariante en
s
A, se cumple que es invariante para todo automorfismo A .
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