Page 119 - Dialectica

La negaci´ on

Demostraci´ on. Es claro que A (A f(x, . . . , z) ) = A f(A x, . . . , A z) =
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f(A x, . . . , A z) y as´ ı sucesivamente para las siguientes aplicaciones
de A.
Un automorfiismo aplicados a los argumentos de una funci´ on con-
duce al mismo resultado que aplicarlo al resultado de la funci´ on. De
esta manera los automorfismos –la rotaciones, por ejemplo, en el ca-
so de los reticulados dial´ ecticos– establece la equivalencia formal entre
´
sus elementos dial´ ecticos. Esta propiedad es esencial en las funciones
de aplicaci´ on a la l´ ogica.

Teorema 30 Sea f(x, . . . , z) una funci´ on invariante del reticulado
L. El conjunto de los automorfismos que verifican A f(x, . . . , z) =
f(A x, . . . , A z) es un subgrupo de G L .

Demostraci´ on. Sean A y B dos automorfismos que cumplen
A f(x, · · · , z) = f(A x, . . . , A z) y B f(x, . . . , z) = f(B x, . . . , B z).
Se tiene entonces:

B A f(x, . . . , z) = B f(A x, . . . , A z) = f(B A x, . . . , B A z).

Se demuestra as´ ı que el producto de dos automorfismos pertenece al
conjunto. Consideremos ahora:

A f(A −1 x, . . . , A −1 z) = f(A A −1 x, . . . , A A −1 z) = f(x, . . . , z)

luego es claro que f(A −1 x, . . . , A −1 z) = A −1 f(x, . . . , z) con lo que
queda demostrado que la inversa de un automorfismo tambi´ en per-
tenece al conjunto. El automorfismo identidad tambi´ en pertenece al
conjunto.
Es claro que las negaciones y los automorfismos forman un grupo
G L de transformaciones del reticulado como consecuencia del Teorema
19. De inmediato se obtienen un conjunto de propiedades muy simples
de este grupo.
El producto de negaciones estrictas no necesariamente es una ne-
gaci´ on estricta, hay m´ ultiples ejemplos. Introduciremos una forma de
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