Page 124 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

y se cumple De Morgan. En forma dual resulta para los m´ aximos. Sea
la suma de dos ´ atomos no contiguos, ocurre N k (d i + d j ) = N k 1 =
0 = D i+k . D j+k = N k d i . N k d j puesto que los m´ aximos tampoco
son contiguos. Lo mismo vale en forma dual para los m´ aximos. Si los
´ atomos son contiguos ocurre N k (d i + d i+1 ) = N k D i = d i+k+1 =
D i+k . D i+k+1 = N k d i . N k d i+1 y se cumple De Morgan. Falta de-
mostrar el caso de un ´ atomo y un m´ aximo contiguos. Si N k (d i . D i ) =
N k d i = D i+k = D i+k + d i+k+1 = N k d i + N k D i y se cumple De
Morgan. Si fuera el otro caso de elementos contiguos N k (d i+1 . D i ) =
N k d i+1 = D i+k+1 = D i+k+1 + d i+k+1 = N k d i+1 + N k D i y tam-
bi´ en se cumple. En el caso de suma, se tiene N k (d i + D i ) = N k D i =
d i+k+1 = D i+k . d i+k+1 = N k d i + N k D i y se cumple. Finalmen-
te, para N k (d i+1 + D i ) = N k D i = d i+k+1 = D i+k+1 . d i+k+1 =
N k d i+1 + N k D i y se cumple.

Teorema 33 La n negaciones ex´ oticas en 2Dn corresponden a las
ecuaciones siguientes (las operaciones son m´ odulo n):
˜ ˜
N k d i = D n−i+k N k D i = d n−i+k .

Demostraci´ on. La demostraci´ on para la negaciones ex´ oticas sigue
las l´ ıneas generales del teorema anterior. El caso de producto de dos
´ atomos diferentes, la suma de dos m´ aximos diferentes o los casos no
contiguos, De Morgan es inmediato, igual que antes. Para dos ´ atomos
contiguos ocurre

˜ ˜ ˜ ˜
N k (d i +d i+1 ) = N k D i = d n−i+k = D n−i+k−1 . D n−i+k = N k d i+1 . N k d i
y se cumple De Morgan. Para un ´ atomo y un m´ aximo contiguos, si
˜
˜
˜
N k (d i . D i ) = N k d i = D n−i+k = D n−i+k + d n−i+k = N k d i +
˜
N k D i y se cumple De Morgan. Para el otro caso contiguo ocurre lo
˜
˜
mismo. En el caso de suma se tiene N k (d i +D i ) = N k D i = d n−i+k =
˜
˜
D n−i+k . d n−i+k = N k d i . N k D i y se cumple. En forma similar, para
el otro contiguo tambi´ en se cumple.
La aplicaci´ on de una rotaci´ on a una negaci´ on normal es un caso
importante que se presenta en el siguiente teorema.
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