Page 126 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 36 El producto –aplicaci´ on sucesiva– de dos negaciones en
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2Dn es, seg´ un sea el caso: N i N j = R i+j+1 , N i N j = R i−j , N i N j =
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S i+j+1 y N j N i = S j−i . Las operaciones son m´ odulo n.
Demostraci´ on. Consideramos N i N j d k = N i D j+k = d i+j+k+1 =
R i+j+1 d k . En el caso N i N j D k = N i d j+k+1 = D i+j+k+1 = R i+j+1 D k
luego se cumple la primera ecuaci´ on. En las negaciones ex´ oticas es:
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N i N j d k = N i D n−k+j = d n−(n−k+j)+i = d k−j+i = R i−j d k y
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N i N j D k = N i d n−k+j = D n−(n−k+j)+i = D k−j+i = R i−j d k , lue-
go se cumple la segunda ecuaci´ on. Consideremos
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N i N j d k = N i D n−k+j = d n−k+j+i+1 = S i+j+1 d k .
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En el caso N i N j D k = N i d n−k+j = D n−k+j+i = S i+j+1 D k , luego
se cumple la tercera ecuaci´ on. Consideremos
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N j N i d k = N j D k+i = d n−(k+i)+j = S j−i d k .
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Consideremos N j N i D k = N j d k+i+1 = D n−(k+i+1)+j = S j−i D k ,
luego se cumple la cuarta ecuaci´ on.
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Una consecuencia de este teorema es que N i N i = R 0 = I donde I
es la identidad. Las negaciones ex´ oticas son involutorias. La estructura
del grupo G L de transformaciones del reticulado 2Dn est´ a formado
por las n rotaciones R i , las n negaciones comunes y las n negaciones
ex´ oticas, que son involutorias.

Teorema 37 El producto –aplicaci´ on sucesiva– de una negaci´ on y una
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simetr´ ıa en 2Dn es, seg´ un sea el caso: S j N k = N j−k−1 , N k S j =
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N j+k , S j N k = N j−k−1 y N k S j = N k−j . Todas las operaciones son
m´ odulo n.
Demostraci´ on. Consideremos

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S j N k d i = S j D i+k = D n−(i+k)+j−1 = N j−k−1 d i .
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Consideremos S j N k D i = S j d i+k+1 = d n−(i+k+1)+j = N j−k−1 D i ,
luego est´ a demostrada la primera igualdad. Consideremos N k S j d i =
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