Page 127 - Dialectica

La negaci´ on

˜
N k d n−i+j = D n−i+j+k = N j+k d i . Consideremos
˜
N k S j D i = N k D n−i+j−1 = d n−i+j−1+k+1 = N j+k D i ,
luego est´ a demostrada la segunda igualdad. Consideremos
˜
S j N k d i = S j D n−i+k = D n−(n−i+k)+j−1 = D i−k+j−1 = N j−k−1 d i .
Consideremos

˜
S j N k D i = S j d n−i+k = d n−(n−i+k)+j = d i−k+j = N j−k−1 D i ,
luego est´ a demostrada la tercera igualdad. Consideremos
˜
˜
N k S j d i = N k d n−i+j = D n−(n−i+j)+k = D i−j+k = N k−j d i .
Consideremos
˜
˜
N k S j D i = N k D n−i+j−1 = d n−(n−i+j−1)+k = d i−j+k−1 = N k−j D i ,
luego est´ a demostrada la cuarta igualdad.
Este teorema completa las operaciones en el grupo G L de automor-
fismos y negaciones del reticulado L.
Una observaci´ on interesante es que existen negaciones comunes
que son involutorias. Para esto basta observar que N i N i = R 2i+1 .
Luego la condici´ on para que N j sea involuntaria es que 2i + 1 = 0
(m´ odulo n) y esto posee soluci´ on para n impar. As´ ı por ejemplo en
2D5 la negaci´ on N 2 = (01)(aC)(bD)(cE)(dA)(eB) es involutoria.

Las negaciones en 3Dn

En la Figura se presenta la notaci´ on empleada para los reticulados
3Dn como extensi´ on del caso 2Dn: se emplean los s´ ımbolos C i para
los valores centrales –la notaci´ on matem´ atica– en lugar de la notaci´ on
alfab´ etica p, q, r, . . . que es m´ as compacta para presentar las tablas de
verdad de las funciones.
Las negaciones en 3Dn se buscan sistem´ aticamente mediante pro-
gramas. Igual que en el caso anterior, se dividen en dos grupos de n
negaciones cada uno: las negaciones normales y las negaciones ex´ oti-
cas. Las negaciones comunes en el caso 3Dn son:
127