Page 125 - Dialectica

La negaci´ on

Teorema 34 Para las negaciones comunes en 2Dn son v´ alidas las
ecuaciones: R k N j = N j R k = N j+k . Las operaciones son m´ odulo
n y k puede ser negativo.

Demostraci´ on. Consideremos R k N j d i = R k D i+j = D i+j+k =
N j+k d i . Pero N j R k d i = N j d i+k = D i+j+k , luego coincide con el
resultado anterior. Para los m´ aximos se tiene algo similar: R k N j D i =
R k d i+j+1 = d i+j+k+1 = N j+k D i . Pero N j R k D i = N j D i+k =
d i+j+k+1 igual al caso anterior. La misma propiedad vale en el caso k
negativo porque la ecuaci´ on de rotaci´ on es ´ unica.

Como consecuencia de este teorema, una negaci´ on com´ un se trans-
forma en otra por una rotaci´ on de los elementos del reticulado puesto
que vale la ecuaci´ on de transformaci´ on R −k N j R k = N j . El producto
–aplicaci´ on sucesiva– de dos negaciones comunes es una rotaci´ on.

Teorema 35 Para las negaciones ex´ oticas en 2Dn son v´ alidas las ecua-
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ciones: R k N j = N j R −k = N (j+k) . Las operaciones son m´ odulo n y
k puede ser negativo.

Demostraci´ on. En el caso de las negaciones ex´ oticas se igual. Con-
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sideremos R k N j d i = R k D n−i+j = D n−i+j+k = N (k+j) d i . Pero
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N j R −k d i = N j d i−k = D n−i+k+j = N (j+k) d i . La demostraci´ on es
igual para los m´ aximos. Luego est´ a demostrado. Igual que en el caso
anterior, k puede ser negativo.
Este resultado y el que se obtiene en 3Dn no contradice el Teorema
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19. All´ ı se establec´ ıa, por ejemplo, que R k N j R −1 es una negaci´ on. En
k
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efecto R k N j R −1 = N j R −k R −1 = N j R −2k = N (j+2k) .
k k
Las negaciones ex´ oticas se transforman de una manera especial en-
tre s´ ı por las rotaciones. Tambi´ en interesa considerar el producto de
dos negaciones.
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