Page 120 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

composici´ on de reticulados que es de uso espec´ ıfico para la dial´ ecti-
ca. 113

Definici´ on 23 Consideremos dos reticulados (disjuntos, sin elemen-
tos comunes) L 1 y L 2 . Se llama composici´ on dial´ ectica o simplemente
U
composici´ on de dos reticulados L 1 y L 2 al reticulado L 1 L 2 formado
por todos los elementos de cada reticulado, con sus relacionones de or-
den propias, pero que comparten los elementos 0 y 1, tal como muestra
la Figura 12.

Figura 12: Composici´ on dial´ ectica de los reticulados L 1 y L 2 .
Como es inmediato, cada uno de los reticulados conserva todas sus
propiedades de negaci´ on, isomorfismo y homomorfismo, solamente
pasan a compartir los elementos extremos. La composici´ on dial´ ecti-
U
ca se puede extender a n reticulados y es una operaci´ on conmutativa
y asociativa.
Resulta inmediato que el grupo G L de la composici´ on de dos reti-
es el producto directo de grupos
culados que poseen grupos G L 1 y G L 2
. En cierta medida existe un resultado inverso.
G L 1 × G L 2

Teorema 31 Si N es una negaci´ on de un reticulado L, entonces el au-
tomorfismo A = N N, que transforma un ´ atomo en un ´ atomo del
reticulado genera una sustituci´ on S entre los ´ atomos que define un con-
junto de sub–reticulados dial´ ecticos L i tales que su composici´ on coinci-
U U
de con L=L 1 · · · L s .

Demostraci´ on. S es una sustituci´ on entre los ´ atomos y como tal es el
113
Esta forma de composici´ on de reticulados no es usual en la matem´ atica.
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