Page 115 - Dialectica

La negaci´ on

sea que x ≤ M 1 . · · · . M t = p. Rec´ ıprocamente, si x ≤ p la funci´ on
vale 0 porque todos las sumas con los m´ aximos son diferentes de 1. Sea
ahora la funci´ on:
g(x) + h(x)

Esta funci´ on –que solamente puede tomar los valores 0 o 1– es 0 cuan-
do se cumpla a 1 + · · · + a s = p ≤ x ≤ p = M 1 . · · · . M t . Luego
el ´ unico valor que cumple estas desigualdades es x = p. Entonces la
funci´ on U(x, p) = N (g(x) + h(x)) vale 1 solamente cuando x = p,
tal como se deb´ ıa demostrar.
Una de las consecuencias de la existencia de funciones unitarias es
la posibilidad de construir funciones que tomen el conjunto de valores
que se desee, tal como muestra el siguiente teorema.

Teorema 26 Si un reticulado L posee, para todos elemento a, una fun-
ci´ on unitaria U(x, a), entonces se puede construir cualquier funci´ on
sobre este reticulado que se puede expresar mediante las funciones uni-
tarias y operaciones l´ ogicas.

Demostraci´ on. Consideremos una tabla que haga corresponder a
cada uno de los valores a i ∈ L el valor b i ∈ L –incluyendo los valores 0
y 1–, existe la funci´ on f(x) tal que f(a i ) = b i dada por:

f(x) = b 1 . U(x, a 1 ) + · · · + b s . U(x, a s )

que toma el valor indicado b i para cada a i .
Es conveniente definir otras funciones unitarias que son ´ utiles para
construir funciones l´ ogicas. Para eso designemos simplemente como
U(x) a la funci´ on unitaria U(x, 1).

Teorema 27 Se puede construir la funci´ on D(x) que vale 1 si y s´ olo si
x posee un valor dial´ ectico.

Demostraci´ on. Es claro que D(x) = N U(x) . N U(Nx) donde
N es una negaci´ on, puesto que N U(x) = 1 para todo x 6= 1 y
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