Page 111 - Dialectica

La negaci´ on

Una l´ ogica queda definida toda vez que se especifica un reticulado
L y una negaci´ on N. Nos ocuparemos en esta secci´ on de una colecci´ on
de reticulados y negaciones cuya caracterizaci´ on informal es que poseen
inter´ es l´ ogico.
La l´ ogica yin-yang es el producto –ver Definici´ on 9, p´ agina 87–
B×B de dos reticulados boleanos simples, ver la Figura 11.

Figura 11: Dial´ ectica yin-yang como producto de l´ ogicas booleanas.

Una propiedad de un reticulado que tiene consecuencias funda-
mentales para la l´ ogica es la propiedad de ser distributivo.

Definici´ on 20 Un reticulado es distributivo si se cumple, para cual-
quier tres elementos x, y, z, la propiedad x . (y + z) = x . y + x . z.

Con esta definici´ on se cumple el siguiente teorema.

Teorema 22 Si un reticulado L es distributivo, entonces existe una
´ unica negaci´ on N estricta que posee la propiedad involutoria
NN x = x.

Demostraci´ on. Sean N 1 y N 2 dos negaciones estrictas. Es claro que
N 1 a = N 1 a . 1 = N 1 a . (a + N 2 a) = N 1 a . a + N 1 a . N 2 a =
N 1 a . N 2 a. Luego sigue que N 1 a ≤ N 2 a . En forma sim´ etrica se
obtiene N 2 a ≤ N 1 a , luego N 2 a = N 1 a para todo a. Por el Teo-
rema 19, N −1 es una negaci´ on estricta. Luego N y N −1 coinciden y
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N −1 a = N a de donde resulta N a = a.
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