Page 107 - Dialectica

La negaci´ on

por N 1 se tiene x+N 1 −1 N N 1 x = 1. Aplicando el razonamiento
al caso dual queda demostrado.

4. A −1 N A es una negaci´ on puesto que A −1 N A(x + y) =
A −1 N(A x+A y) = A −1 (N A x . N A y) = A −1 N A x . A −1 N A y.
En forma similar se demuestra para x . y. Es claro que A x +
N A x = 1 si N es una negaci´ on estricta. Aplicando A −1 resulta
x + A −1 N A x = 1. En forma similar se demuestra para x . y.

5. N −1 es una negaci´ on estricta puesto que x + N x = 1, luego,
aplicando la negaci´ on N −1 resulta N −1 x . x = 0 y en forma si-
milar se demuestra el caso dual N −1 x + x = 1.

Con esto quedan demostrados todos los casos.
De estas definiciones y teoremas resulta que el producto (aplicaci´ on
sucesiva) de p negaciones es una negaci´ on si p es impar o un automor-
fismo, si es par.

Definici´ on 18 Se llama grado de una negaci´ on N al menor n´ umero
de veces que es necesario aplicar N para obtener la transformaci´ on
id´ entica. El grado es un n´ umero par.

Por ejemplo, en el reticulado reticulado hegeliano D3 la negaci´ on
(0 1)(t a s) es de grado 6 pero la negaci´ on (0 1)(t a) es de grado 2. No
todas las negaciones de un reticulado poseen el mismo grado.

Teorema 20 En un reticulado rDn todas las negaciones de un elemen-
to de nivel l´ ogico s son elementos de nivel l´ ogico r − s + 1.

Demostraci´ on. Consideremos un elemento d s,t del reticulado. Sea
la cadena:

0 < d 1,p < d 2,q < · · · < d s,t < d s+1,u < · · · d r,z < 1.

Esta cadena tiene s − 1 elementos contiguos entre 0 y el elemento d s,t
y r − s elementos hasta el 1, en total hay r elementos dial´ ecticos. Apli-
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