Page 105 - Dialectica

La negaci´ on

De la monoton´ ıa del producto se tiene f(x + y) ≤ f(x) . f(y). En
forma dual se demuestra f(x . y) ≥ f(x) + f(y). Consideremos ahora
f −1 , inversa de f, que tambi´ en es mon´ otona inversa, y apliquemos a
f(x) y f(y) esta propiedad, resulta f −1 (f(x) . f(y)) ≥ f −1 (f(x)) +
f −1 (f(y)) = x + y. Apliquemos f a la f´ ormula, teniendo en cuenta la
monoton´ ıa inversa, se obtiene f(x) . f(y) ≤ f(x + y). Combinando
los resultados se obtiene f(x) . f(y) = f(x+y), una de las ecuaciones
de De Morgan. En forma dual se obtiene la otra propiedad y queda
demostrado que f es una negaci´ on.

Teorema 18 Toda negaci´ on cumple con: N 0 = 1 y N 1 = 0.

Demostraci´ on. Sea x un elemento del reticulado y sea z = N −1 x,
se tiene entonces 0 . z = 0, luego, para todo x, es N 0+x = N 0.
Reemplazando x = 1 resulta que N 0 = 1 + N 0 = 1. En forma dual
se demuestra la otra igualdad.
Este resultado permite adelantar un paso en la interpretaci´ on de
los valores l´ ogicos de un reticulado. Podemos asimilar el supremo del
reticulado, 1, al valor l´ ogico “verdadero” y el ´ ınfimo, 0, al valor l´ ogico
“falso” exactamente igual que en la interpretaci´ on binaria cl´ asica. Con
esta presentaci´ on, el sub–reticulado formado por 0 y 1, con cualquier
negaci´ on, no se puede diferenciar de la l´ ogica binaria. Mediante este
argumento se comienza a interpretar el significado de los valores l´ ogi-
cos del reticulado. Las negaciones definidas se comportan respecto a
los valores “verdadero” y “falso” en la forma esperada.
Las negaciones incluyen algunos casos especiales, ´ utiles para la l´ ogi-
ca, que se denominan negaciones estrictas.

Definici´ on 17 Una negaci´ on N definida en el reticulado L se dice ne-
gaci´ on estricta si transforma todo elemento en un contrario estricto, es
decir, si se cumple para todo x: x + N x = 1 y x . N x = 0.

Se cumple el siguiente teorema.
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