Page 104 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

en forma espont´ anea por el pensamiento humano. 107 Con la propie-
dad de De Morgan queda completamente caracterizada la negaci´ on.

Definici´ on 16 Una negaci´ on N en un reticulado es una operaci´ on
unaria, con inversa, que cumple con la propiedad de De Morgan:
N(x + y) = Nx . Ny y tambi´ en N(x . y) = Nx + Ny.

La propiedad de De Morgan define un anti–isomorfismo en el re-
ticulado. Indica que se posee una cierta “simetr´ ıa” dentro de la estruc-
tura de los valores l´ ogicos. Se vincula tambi´ en con una propiedad de
conservaci´ on del orden definido en el reticulado.

Teorema 16 Toda negaci´ on N definida en un reticulado es una fun-
ci´ on mon´ otona inversa (o que invierte el orden).

Demostraci´ on. Si una funci´ on cumple con la propiedad de De Mor-
gan para dos valores l´ ogicos que verifiquen x ≤ y se tiene, aplicando
las propiedades elementales x + y = y y tambi´ en x . y = x. Apli-
cando la propiedad de De Morgan a las expresiones anteriors resulta
N x . N y = N y y tambi´ en N x + N y = N x y de cualquiera de estas
dos expresiones resulta de inmediato que N y ≤ N x tal como se deb´ ıa
demostrar.

Teorema 17 Si una funci´ on f(x) posee inversa e invierte el orden en
un reticulado, entonces N x = f(x) es una negaci´ on.

Demostraci´ on. Consideremos dos elementos del reticulado. Puesto
que se tiene x + y ≥ x, por la propiedad de monoton´ ıa inversa se llega
a f(x + y) ≤ f(x) y de x + y ≥ y se obtiene f(x + y) ≤ f(y).

107
Como ejemplo, es interesante observar que la propiedad de De Morgan existe en el
espa˜ nol como un hecho natural y extraordinariamente preciso. En efecto, la negaci´ on
de la frase “o A o B” es la frase “ni A ni B” que expresa la propiedad de De Morgan, si
entendemos que “ni” es una contracci´ on de “no y”. En otros idiomas la vinculaci´ on no
es tan perfecta.
104