Page 99 - Dialectica

La formalizaci´ on de la dial´ ectica

como se deb´ ıa demostrar.
Como consecuencia de este teorema resulta que S j S j = R 0 = I,
la identidad. La simetr´ ıas son involuntarias, tal como su nombre su-
giere. El siguiente teorema presenta el producto de una simetr´ ıa y una
rotaci´ on.

Teorema 12 Consideremos una rotaci´ on R j y una simetr´ ıa S k en en
3Dn, cumplen con las ecuaciones del producto –aplicaci´ on sucesiva–
S k R j = S k−j y R j S k = S j+k .

Demostraci´ on. La demostraci´ on es similar a los casos anteriores y se
omite por brevedad.
Los teoremas anteriores de automofismos en 2Dn y 3Dn poseen
demostraciones similares. Esto permite afirmar que los teoremas son
v´ alidos para rDn –con r > 1– con car´ acter general.

Conos e intervalos
En el an´ alisis de los reticulados dial´ ecticos es necesario introducir
algunas nociones nuevas.

Definici´ on 14 Dos elementos a, b de un reticulado L permiten definir
los siguientes conjuntos de elementos:

1. Cono: conjunto de elementos x que cumplen x ≥ a;

2. Cono invertido: conjunto de elementos y que cumplen y ≤ b;

3. Intervalo: conjunto de elementos z que cumplen a ≤ z ≤ b.

Estas definiciones son pr´ oximas a las definiciones de ideal e ideal
dual en la teor´ ıa de reticulados. 105 En la Figura 10 se presentan ejem-
105
La definici´ on de ideal es: Se llama ideal de un reticulado L a un subconjunto de ele-
mentos S tal que si x, y ∈ S, entonces x+y ∈ S; si z ≤ x entonces z ∈ S. La definici´ on
dual es: Se llama ideal dual de un reticulado L a un subconjunto de elementos S tal que
si x, y ∈ S, entonces x . y ∈ S; si z ≥ x entonces z ∈ S.
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