Page 98 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

reticulado 3Dn: 103 hay n rotaciones y otras tantas simetr´ ıas, igual que
en el caso anterior.

Teorema 10 Las simetr´ ıas S j en 3Dn cumplen las ecuaciones S j d i =
d n−i+j , S j C i = C n−i+j−1 y S j D i = D n−i+j−2 , las operaciones
son m´ odulo n.

Demostraci´ on. Las demostraciones para las sumas de los ´ atomos
o el producto de los m´ aximos contiguos –donde resulta un elemento
central– es la misma que en el caso del Teorema 7 104 , solamente se de-
be analizar el caso de sumas y productos de elementos centrales. Con-
sideremos dos elementos centrales contiguos C i . C i+1 = d i , aplican-
do la simetr´ ıa se obtiene S j (C i . C i+1 ) = S j d i+1 = d n−i−1+j . Pero
S j C i = C n−i+j−1 y S j C i+1 = C n−(i+1)+j−1 , luego S j C i . S j C i+1 =
C n−i+j−1 . C n−(i+1)+j−1 = d n−i+j−1 , luego est´ a demostrado. La su-
ma de dos elementos centrales contiguos es C i + C i+1 = D i , aplican-
do la simetr´ ıa se obtiene S j (C i + C i+1 ) = S j D i = D n−i+j−2 . Pero
S j C i = C n−i+j−1 y S j C i+1 = C n−(i+1)+j−1 , luego S j C i +S j C i+1 =
C n−i+j−1 + C n−(i+1)+j−1 = D n−(i+1)+j−1 = D n−i+j−2 = S j D i
con los cual queda demostrado el teorema.
El siguiente teorema analiza el producto de dos simetr´ ıas.

Teorema 11 Dos simetr´ ıas S j , S k en 3Dn cumplen la ecuaci´ on del
producto –aplicaci´ on sucesiva de cada una– S j S k = R j−k , donde R
es la rotaci´ on del reticulado.

Demostraci´ on. La demostraci´ on para los ´ atomos y los elementos
centrales coincide con la realizada en el Teorema 8 para ´ atomos y m´ axi-
mos puestos que las ecuaciones son iguales. Basta demostrarlo para los
m´ aximos. Consideremos un m´ aximo, se obtiene S k D i = D n−i+k−2 .
Luego S j D n−i+k−2 = D n−(n−i+k−2)+j−2 = D i−k+j = R j−k D i
103
Este resultado se ha comprobado directamente por un programa que buscaba todos
los casos posibles de automorfismo.
104
El hecho que las ecuaciones tengan una constante diferente en el caso de los m´ axi-
mos y elementos centrales no cambia nada en la demostraci´ on.
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