Page 96 - Dialectica
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Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica
el caso del r´ ıo de Erakleitos, p´ agina 60, por ejemplo.
Reticulados dial´ ecticos y automorfismos
Los automorfismos en los reticulados dial´ ecticos –excepto los Dn–
est´ an formados por dos familias: la rotaciones y las simetr´ ıas. La rota-
ciones est´ an definidas en el Teorema 2, en esta secci´ on nos ocuparemos
de las simetr´ ıas. En los reticulados Dn toda permutaci´ on de los elemen-
tos es un automorfismo.
En los reticulados 2Dn se cumple el siguiente teorema. Empleamos
la notaci´ on matem´ atica que emplea d i para los ´ atomos y D i para los
m´ aximos. El siguiente teorema muestra que existen 2n automorfirmos
en el reticulado. 101 Hay n rotaciones y otras tantas simetr´ ıas.
Teorema 7 Las simetr´ ıas S j en 2Dn cumplen las ecuaciones S j d i =
d n−i+j y S j D i = D n−i+j−1 , las operaciones son m´ odulo n.
Demostraci´ on. Solamente es necesario verificar las propiedades pa-
ra las sumas de los ´ atomos o el producto de los m´ aximos contiguos.
Consideremos dos ´ atomos contiguos d i + d i+1 = D i , aplicando la si-
metr´ ıa se obtiene S j (d i + d i+1 ) = S j D i = D n−(i+1)+j . Pero S j d i =
d n−i+j y S j d i+1 = d n−(i+1)+j , luego S j d i + S j d i+1 = d n−i+j +
d n−(i+1)+j . Como estos dos ´ atomos son contiguos, su suma tiene el
´ ındice del menor ´ ındice de los sumandos, luego es D n−(i+1)+j y se
cumple la condici´ on del automorfismo de la suma. En forma dual,
consideremos dos m´ aximos contiguos D i . D i+1 = d i+1 , aplicando
la simetr´ ıa se obtiene S j (D i . D i+1 ) = S j d i+1 = d n−(i+1)+j . Pe-
ro S j D i = D n−i+j−1 y S j D i+1 = D n−(i+1)+j−1 . Como estos dos
m´ aximos son contiguos, su producto tiene el ´ ındice del mayor ´ ındice
de los mutiplicandos, luego es d n−i+j−1 = d n−(i+1)+j y se cumple la
condici´ on del automorfismo del producto.
El siguiente teorema analiza el producto de dos simetr´ ıas.
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Este resultado se ha comprobado directamente por un programa que buscaba todos
los casos posibles de automorfismo.
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