Page 92 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Demostraci´ on. Consideremos los ´ atomos menores a un m´ aximo
(r, 0), ver Figura 8. Es inmediato que son: (1, 0) · · · (1, r − 1), r ´ ato-
mos en total. Para que exista un ´ atomo que sume 1 con este m´ aximo
debe existir, al menos, un ´ atomo adicional y esto solamente ocurre si
n − 1 ≥ r o sea, si n ≥ r + 1. Estos ´ atomos cumplen tambi´ en la con-
dici´ on del producto. La diferencia n − r es el n´ umero de ´ atomos que
cumplen esta propiedad y por lo tanto no son menores que el m´ aximo
considerado. El caso dual se demuestra de la misma manera.

Teorema 4 Las estructuras rDn, con n par, no son reticulados si cum-
plen con 2(r − 1) ≥ n.

Figura 9: Estructura 3D4 como ejemplo de no reticulado.

Demostraci´ on. Para fijar las ideas consideremos las Figura 9 con la
estructura 3D4. Puede advertise de inmediato que existe dos valores
para la suma a + c = A, C, por ejemplo, algo que no es aceptable
en un reticulado. En forma dual, tambi´ en existen dos valores para el
producto B . D = b, d, por ejemplo. En general, esto ocurre en las es-
tructuras con n par y donde hay dos conjuntos de r ´ atomos que com-
pletan el per´ ıodo n de la suma de los ´ ındices correspondientes, o sea,
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