Page 91 - Dialectica

La formalizaci´ on de la dial´ ectica

La definici´ on general se puede especializar en casos de inter´ es como
ejemplos de introducci´ on al tema. A los efectos de ilustrar las ideas, en
la Figura 8 se presenta el reticulado 3D5.

Es inmediato que este reticulado posee n automoformismos que
coinciden con las rotaciones de los n ´ atomos. Tambi´ en posee las pro-
piedades siguientes, de demostraci´ on inmediata.

Teorema 2 Todo reticulado dial´ ectico rDn posee las siguientes propie-
dades:

Posee n ´ atomos, d 1,j , y n m´ aximos, d r,j . El producto de dos ´ ato-
mos es 0 y las suma de dos m´ aximos es 1.

La suma d i,j + d i,j+1 de dos elementos contiguos es d i+1,j y
el producto d i,j . d i,j+1 de dos elementos contiguos es d i−1,j+1 ,
todas las operaciones son m´ odulo n.
Posee una rotaci´ on definida como R 1 d i,j = d i,j+1 (la suma
se considera m´ odulo n) y todas la aplicaciones sucesivas de esta
transformaci´ on, tambi´ en son rotaciones.
Todo elemento i, j es igual a la suma de los ´ atomos del reticu-
lado que le son menores y el producto de los m´ aximos que son
mayores, en ambos casos se consideran las operaciones b´ asicas
del reticulado.

Demostraci´ on. Estos resultados son inmediatos a partir de la Defi-
nici´ on 10.
Existe una propiedad muy simple que poseen los reticulados dial´ ecti-
cos que establece el siguiente teorema.

Teorema 3 En un reticulado rDn, r > 1, todo m´ aximo es la suma
de r ´ atomos. La condici´ on necesaria y suficiente para que exista un
m´ aximo D y un ´ atomo d tales que D . d = 0 y D + d = 1 es que
n > r. La propiedad tambi´ en se cumple en forma dual, intercambian
m´ aximos y ´ atomos.
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