Page 97 - Dialectica

La formalizaci´ on de la dial´ ectica

Teorema 8 Dos simetr´ ıas S j , S k en 2Dn cumplen la ecuaci´ on del pro-
ducto –aplicaci´ on sucesiva de cada una– S j S k = R j−k , donde R es la
rotaci´ on del reticulado.

Demostraci´ on. Consideremos un ´ atomo, se obtiene S k d i = d n−i+k .
Aplicando la otra simetr´ ıa S j d n−i+k = d n−(n−i+k)+j = d i+j−k , o sea
R j−k d i tal como se deb´ ıa demostrar. Consideremos un m´ aximo, se ob-
tiene S k D i = D n−i+k−1 . Luego S j D n−i+k−1 = D n−(n−i+k−1)+j−1 =
D i−k+j = R j−k D i como se deb´ ıa demostrar.
Como consecuencia de este teorema resulta que S j S j = R 0 = I,
la identidad. La simetr´ ıas son involuntarias, tal como su nombre su-
giere. El siguiente teorema presenta el producto de una simetr´ ıa y una
rotaci´ on.

Teorema 9 Consideremos una rotaci´ on R j y una simetr´ ıa S k en en
2Dn, cumplen con las ecuaciones del producto –aplicaci´ on sucesiva–
S k R j = S k−j y R j S k = S j+k .

Demostraci´ on. Consideremos un ´ atomo, R j d i = d i+j . Aplicando
la simetr´ ıa resulta S k d i+j = d n−(i+j)+k = d n−i+(k−j) = S k−j d i .
Considerando un m´ aximo, R j D i = d i+j . Aplicando la simetr´ ıa re-
sulta S k D i+j = D n−(i+j)+k−1 = D n−i+(k−j)−1 = S k−j d i , lue-
go est´ a demostrada la primera igualdad. En el orden inverso resulta
S k d i = d n−i+k . Aplicando la rotaci´ on resulta R j d n−i+k = d n−i+k+j =
S j+k d i . Considerando un m´ aximo, S k D i = D n−i+k−1 . Aplicando
la rotaci´ on resulta R j D n−i+k−1 = D n−i+j+k−1 = S j+k D i , luego
est´ a demostrada la segunda igualdad.
Este teorema muestra que R j S k R j = R j S k−j = S k−j+j = S k
para cualquier rotaci´ on del reticulado. Tambi´ en se obtiene S j = R j S 0
que permite obtener todas las simetr´ ıas del reticulado. 102
El siguiente teorema muestra que existen 2n automorfismos en el

102
Estos resultados tiene inter´ es para el estudio del grupo de los automorfismos, tema
que no analizado en detalle en este trabajo.
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