Page 112 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Es oportuno se˜ nalar que el rec´ ıproco no es cierto. Tal como se ve
m´ as adelante, hay negaciones involutorias estrictas en reticulados no
distributivos. Tambi´ en ocurre que en un reticulado distributivo como
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B hay una negaci´ on que no es estricta, como la negaci´ on N = (0 1)
en la Figura 11.
Desde el punto de vista f´ ısico, esto establece que la l´ ogica del spin,
al no ser distributiva, no puede ser asimilada a una l´ ogica booleana.
Esto hace a la “il´ ogica” fundamental de la mec´ anica de las part´ ıculas
elementales.
Otra conclusi´ on importante, que no demostraremos pero que se
encuentra en [14], establece que toda l´ ogica booleana de un n´ umero
n
finito de elementos es una potencia B de la l´ ogica booleana simple.

Las funciones unitarias en los reticulados dial´ ecticos
El estudio de las funciones l´ ogicas es el siguiente aspecto para la
construcci´ on de una dial´ ectica. Antes de analizar las funciones de in-
ter´ es espec´ ıfico sobre el tema, es conveniente realizar un an´ alisis m´ as
general acerca de las funciones l´ ogicas. Este an´ alisis comienza con una
observaci´ on importante. Las funciones que se pueden construir en un
reticulado mediante valores constantes, variables y las dos operaciones,
son funciones mon´ otonas porque todas estas operaciones lo son. Para
construir funciones que nos sean mon´ otonas es necesario agregar ne-
gaciones, que son funci´ on mon´ otonas inversas. Este hecho muestra la
importancia de la funci´ on negaci´ on.
Para analizar la construcci´ on de las funciones l´ ogicas que se pue-
den construir con las dos operaciones y la negaci´ on en un reticulado
comencemos por la definici´ on de las funciones unitarias.

Definici´ on 21 Se llama funci´ on unitaria U(x, a) de un reticulado L
y un elemento a, a una funci´ on tal que para x ∈ L se cumple para
x = a, U(x, a) = 1 y para x 6= a, U(x, a) = 0.

Con esta definici´ on se pueden demostrar algunos teoremas impor-
tantes para los reticulados estudiados.
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