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La negaci´ on

Teorema 23 En todo reticulado dial´ ectico de rango 1 y de grado n >
2, se pueden construir las funciones U(x, 1) y U(x, 0) = U(N x, 1).
Para todo elemento p del reticulado, p 6= 0, 1, vale U(x, p) =
N U(p . x, 0) . N U(p + x, 1), donde N es una negaci´ on.

Demostraci´ on. El reticulado posee, al menos, tres ´ atomos a, b, c,
contrarios entre s´ ı puesto que n ≥ 3. Se puede construir la funci´ on:

U(x, 1) = (a . x + b) . (a . x + c) . (b . x + a) . (b . x + c).

Para x = 0 la funci´ on vale = b . c . a . c = 0. Para x 6= a, b se tie-
ne U(x, 1) = b . c . a . c = 0. Para x = a se tiene U(x, 1) = (a +
b) . (a + c) . a . c = 0. Para x = b ocurre lo mismo que para a puesto
que la funci´ on es sim´ etrica en estos par´ ametros. Finalmente, para x =
1, U(x, 1) = (a + b) . (a + c) . (b + a) . (b + c) =1. Es claro que la
funci´ on U(x, 0) = U(N x, 1) vale 1 solamente cuando N x = 1, luego
solamente cuando x = 0. La funci´ on U(p . x, 0) + U(p + x, 1) para
x = p vale 0 y para todo valor dial´ ectico diferente de p vale 1 puesto
que p . x = 0 y p + x = 1. Para x = 0 vale 1 por el primer sumando y
para x = 1 tambi´ en vale 1 por el segundo sumando. Luego la negaci´ on
de la suma, por De Morgan, demuestra el resultado.

Teorema 24 En todo reticulado dial´ ectico rDn con rango 2 ≤ r <
n − 1 se pueden construir las funciones unitarias U(x, 1) y U(x, 0) =
U(N x, 1).

Demostraci´ on. Sea M un m´ aximo del reticulado. Por la condici´ on
del rango, este m´ aximo posee al menos dos ´ atomos contrarios l´ ogicos.
En efecto, consideremos los r ´ atomos que son menores que M. Por la
propiedad de n existen por los menos dos ´ atomos fuera de este con-
junto y por la manera en que fueron obtenidos, son contrarios l´ ogicos.
Sean a y b estos ´ atomos contrarios l´ ogicos de M. Entonces se puede
construir la funci´ on:

f(x, M) = (M . x + a) . (a . x + M) . b.
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