Page 129 - Dialectica

La negaci´ on

donde todas las operaciones se realizan en m´ odulo n. Por supuesto que
es necesario demostrar que estas expresiones cumplen De Morgan. Se
omite esta demostraci´ on porque no agrega demasiado respecto a la ya
presentada 2Dn.

Teorema 38 Para las negaciones comunes en 3Dn son v´ alidas las
ecuaciones: R k N j = N j R k = N j+k . Las operaciones son m´ odulo
n y k puede ser negativo.

Demostraci´ on. Sea R k N j d i = R k D i+j = D i+j+k = N j+k d i .
Sea R k N j C i = R k C i+j+1 = C i+j+k+1 = N j+k C i . Sea R k N j D i =
R k d i+j+2 = d i+j+k+2 = N j+k D i . Si consideramos el producto al
rev´ es se tiene N j R k d i = N j d i+k = D i+j+k igual que en el producto
anterior. Del mismo modo ocurre N j R k C i = N j C i+k = C i+j+k+1
y N j R k D i = N j D i+k = d i+j+k+2 tal como se deb´ ıa demostrar.
Este teorema muestra que las negaciones comunes son invariantes
en la rotaciones del reticulado.

Teorema 39 El producto –aplicaci´ on sucesiva– de dos negaciones en
˜ ˜
3Dn es, seg´ un sea el caso: N i N j = R i+j+2 y N i N j = R i−j . Las
operaciones son m´ odulo n.

Demostraci´ on. Sea N i N j d k = N i D j+k = d i+j+k+2 = R i+j+2 d k .
Sea N i N j C k = N i C j+k+1 = C i+j+k+2 = R i+j+2 C k . Sea N i N j D k =
N i D j+k+2 = d i+j+k+2 = R i+j+2 d k , luego est´ a demostrado para las
˜ ˜
˜
negaciones comunes. Sea N i N j d k = N i D n−k+j = d n−(n−k+j)+i =
d k+i−j = R i−j d k . En los dem´ as casos ocurre lo mismo porque las
transformaciones son iguales, luego est´ a demostrado.
Luego todas las negaciones ex´ oticas son invocatorias –puesto que
˜ ˜
N i N i = R 0 = I– como en 2Dn. Tambi´ en existe una negaci´ on com´ un
involutoria si 2i + 2 = 0 (m´ odulo n).
Como en el caso anterior se cumple el Teorema 37, la demostraci´ on
es igual y se omite.
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