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Las paradojas

Con esta funci´ on, el problema de Epimenides se convierte en:

a = f(b) b = Nf(a)

El primer enunciado dice: a establece que b es falso. El segundo
enunciado dice: b establece que a no es falso. El problema de Epimeni-
des consiste en estudiar si estas ecuaciones poseen o no una soluci´ on.
La soluci´ on cl´ asica consiste en negar que el problema posea signifi-
cado. La funci´ on f(x) por un lado debe ser una funci´ on proposicional,
pero por otro, debe ser una funci´ on l´ ogica. Este es el argumento de con-
fusi´ on de niveles que se suele invocar para escapar a la paradoja. Pero
seamos algo m´ as amplios de criterio y sigamos adelante. Aceptemos
que f(x) pueda ser una funci´ on l´ ogica y que sea v´ alido opinar sobre
la validez de una preposici´ on. En este caso la contradicci´ on continua
de esta manera. Es muy claro que f(x) solamente puede ser una de las
dos ´ unicas funciones l´ ogicas que existen: f(x) = x o f(x) = Nx. Es
razonable suponer que nos debemos referir a la segunda. Si suponemos
que la funci´ on coincide con la primera, lo cual ya evidencia un gusto
singular por la interpretaci´ on de la afirmaci´ on “x es falso”, se llega a la
ecuaci´ on final: a = Na.
Con esta interpretaci´ on, el problema de Epimenides consiste en re-
solver el sistema de ecuaciones l´ ogicas:

a = Nb b = NNa

Vale la pena notar que no hemos supuesto que la negaci´ on es una ope-
raci´ on involutoria. Si reemplazamos b en la primera ecuaci´ on se llega
a a = NNNa. Esta ecuaci´ on posee soluci´ on en una multitud de l´ ogi-
cas posibles. As´ ı por ejemplo, en la l´ ogica hegeliana, a puede tomar uno
cualquiera de los tres valores dial´ ecticos, cualquiera sea la negaci´ on que
se considere. Aun en l´ ogicas donde la negaci´ on sea de segundo grado
–cosa que tambi´ en ocurre en algunas negaciones hegelianas–, la ecua-
ci´ on resultante a = Na posee soluci´ on. As´ ı por ejemplo, en la l´ ogica
modal definida en C3 existe soluci´ on. En la l´ ogica hegeliana, en D3,
con la negaci´ on N = (0 1) existen tres soluciones. Aunque parezca
sorprendente, tambi´ en existen soluciones en las l´ ogicas booleanas de
grado mayor que 1, por ejemplo para la negaci´ on N = (0 1): es claro
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