Page 223 - Dialectica

Las paradojas

o los n´ umeros “imaginarios” muestran dos claras heridas en el orgullo
matem´ atico de quienes pretendieron resolver dos simples ecuaciones
de segundo grado. Exactamente lo mismo le ocurri´ o a la l´ ogica con el
problema de Epimenides.

La paradoja de Russell
Estudiaremos aqu´ ı problemas que poseen un marcado car´ acter fun-
cional. Dentro de estos problemas se destaca con nitidez la llamada pa-
radoja de Russell. Por la importancia desde el punto de vista te´ orico,
esta paradoja es un punto de atenci´ on importante para la comprensi´ on
dial´ ectica de la matem´ atica.
Comencemos el estudio en el punto donde suele comenzar el pro-
blema, en la llamada paradoja de los barberos. Para esto definamos la
funci´ on proposicional:
F(x, y) = x afeita a y

Esta funci´ on est´ a definida sobre el conjunto de los hombres –de una
cierta localidad, para fijar las ideas–. Sea b el barbero de la localidad.
En el enunciado del problema, el barbero afeita a todos los que no se
afeitan por s´ ı mismos. Esta condici´ on se puede expresar como una tabla
de verdad:

F(x, x) F(b, x)
x no se afeita a s´ ı mismo 0 1
x se afeita a s´ ı mismo 1 0

En esta tabla se establece la doble condici´ on en la cual act´ ua el bar-
bero. As´ ı planteado el problema, resulta entonces la ecuaci´ on proposi-
cional: F(b, x) = NF(x, x). La paradoja nace al aplicar esta ecuaci´ on
al propio barbero porque se tiene: F(b, b) = NF(b, b).
En la l´ ogica binaria esta ecuaci´ on carece de soluci´ on. Bo cualquier
ecuaci´ on funcional que caprichosamente se nos ocurra tiene que po-
seer soluci´ on. Este es un resultado conocido desde mucho tiempo atr´ as
en la matem´ atica. Es f´ acil comprender entonces que la llamada parado-
ja no es otra cosa que un problema sin soluci´ on, por ingeniosa y plau-
sible que parezca el planteo. El segundo aspecto que interesa destacar
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