Page 225 - Dialectica

Las paradojas

ma matem´ atico conocido. La matem´ atica ya hab´ ıa encontrado muchas
veces esta situaci´ on. De los ejemplos anteriores no debe pensarse que
todo problema posee soluci´ on en alguna l´ ogica dial´ ectica. Todo pro-
blema de l´ ogica proposicional puede ser expresado como un sistema
de ecuaciones del tipo:
E 1 = v 1

· · ·

E p = v q
donde E i son expresiones l´ ogicas con un cierto n´ umero de proposi-
ciones inc´ ognitas y se cumple v 1 = 0, 1. No imponemos ning´ un tipo
de restricci´ on al problema. En la l´ ogica cl´ asica, para evitar el proble-
ma de las referencias rec´ ıprocas, no se acepta la posibilidad de escribir
la igualdad de dos expresiones ni la mezcla de variables. Pero nada de
esto evita que existan sistemas de ecuaciones l´ ogicas sin soluci´ on.
Una primera observaci´ on consiste en que se puede considerar que
todas las expresiones son del tipo E i = 0 porque una ecuaci´ on del
tipo E 1 = 1 es equivalente a N E 1 = 0. Una segunda consideraci´ on
consiste en observar que un sistema de expresiones que se exige que
sean falsas es equivalente a:

E 1 + · · · + E p = 0

Luego de estas observaciones se puede demostrar que en todo reti-
culado dial´ ectico y para toda negaci´ on se pueden formular paradojas.

Teorema 70 En todo reticulado, para todo x, y, z y toda negaci´ on N,
la expresi´ on p(x, y, z) = x + y + z . Nx + Nz . Ny es una tesis.

Demostraci´ on. Para que la expresi´ on sea 0, deben ser 0 todos los
sumandos y de all´ ı que se tengan que cumplir las ecuaciones: x = 0,
y = 0, z.Nx = 0 y Nz.Ny = 0. Reemplazando x, y en las dos ecua-
ciones restantes resulta z = 0 y Nz = 0 que carecen de soluci´ on en
todo reticulado, para toda negaci´ on. Queda demostrado entonces que
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