Page 234 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

6. Durante 20 siglos se dud´ o del car´ acter de axioma del enunciado
de Euklides sobre las paralelas.

7. El el siglo 19 se demostr´ o que el axioma de las paralelas es inde-
pendiente de los dem´ as axiomas cl´ asicos de la geometr´ ıa.

8. Hacia mitad del siglo 19 y comienzos del siglo 20 –desde Boole
hasta Russell– se formaliz´ o la teor´ ıa de la deducci´ on l´ ogica.

Analicemos esta historia desde el punto de la validez l´ ogica de las
proposiciones de la geometr´ ıa. Hacia –500 los dos teoremas funda-
mentales pose´ ıan un valor l´ ogico relativo, se basaban en observacio-
nes y propiedades de los tri´ angulos pero estaban poco fundamentadas.
Podr´ ıamos decir que su valor l´ ogico era tesis. En la obra de Euklides
ocurri´ o un cambio fundamental: se introdujeron los axiomas, propo-
siciones que se les asign´ o el valor l´ ogico verdadero. 159 Con esta modi-
ficaci´ on, los teoremas pasaron a ser tambi´ en afirmaciones con valor
“verdadero”, o sea, tienen el mismo valor l´ ogico que los axiomas que los
originan.
El hecho que el axioma de las paralelas ofreciera dudas, no cambia-
ba su valor l´ ogico, tambi´ en era “verdadero”, solamente se especulaba
con que fuese un teorema. En el siglo 19 se resolvi´ o la cuesti´ on de las
paralelas de una manera inesperada y muy importante desde el pun-
to de vista dial´ ectico. Por un lado J´ anos Bolyai (1802, 1860) y Nikolai
Lobachevsky (1792, 1850) publicaron, por separado, tratados de geo-
metr´ ıa que postulaban la existencia de m´ as de una paralela. Un par de
d´ ecadas despu´ es Bernhard Riemann (1826, 1866) presentaba la geo-
metr´ ıa sin paralelas. A partir de este momento coexist´ ıan tres variantes
de la geometr´ ıa seg´ un el axioma aceptado. 160

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No es que los axiomas sean “verdaderos” en un sentido epistemol´ ogico, es simple-
mente convencional aceptar que son universalmente v´ alidos como se ve en lo que sigue.
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Existe al menos una cuarta variante de la geometr´ ıa, la llamada geometr´ ıa proyecti-
va, una geometr´ ıa sin paralelas derivada del estudio de la perspectiva. Esta geometr´ ıa
puede ser interpretada en t´ erminos de la geometr´ ıa euclidiana aceptando la existencia
de puntos, rectas o planos al infinito. De esta manera se obten´ ıa una geometr´ ıa cohe-
rente que adem´ as ten´ ıa la peculiaridad de que los conceptos de punto y plano eran
intercambiables.
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