Page 237 - Dialectica

La dial´ ectica en las ciencias

culaci´ on pose´ ıa la teor´ ıa de grupos con el resto de la matem´ atica “tra-
dicional”? La teor´ ıa en s´ ı es axiom´ atica y deductiva, tal como propon´ ıa
el modelo euclidiano, pero sin embargo no se puede decir que los axio-
mas de la teor´ ıa sean “verdaderos”. Son realmente tesis que se aplican o
no a los objetos de estudio. Hay colecciones de objetos que son grupos
y hay otras que no lo son. Lo mismo ocurre con todas las estructuras al-
gebraicas introducidas desde el siglo 19 en adelante, incluyendo dentro
de estas estructuras el ´ algebra de Boole y la teor´ ıa de reticulados.
La l´ ogica “tradicional”, aristot´ elica, formalizada hacia 1900, ¿es ver-
dadera? La respuesta es no, es solamente un conjunto de tesis que se
aceptan habitualmente, pero que no es obligatorio aceptar. La existen-
cia de una l´ ogica m´ as poderosa que la binarias es el tema del presente
estudio.
Lo mismo sucede con el c´ elebre resultado de Kurt G¨ odel (1906,
1978) es un caso paradigm´ atico para estudiar la vinculaci´ on de las teo-
r´ ıas formales con la interpretaci´ on dial´ ectica del pensamiento. Este caso
es el m´ as alambicado esfuerzo de los l´ ogicos por ignorar las limitacio-
nes de la l´ ogica binaria para comprender la matem´ atica y las teor´ ıas
formales suficientemente ricas como para contener a la aritm´ etica.
El resultado de G¨ odel es uno de estos casos especiales en el cual se
juntan cadenas formales de argumentos que llevan a un resultado dif´ ıcil
de interpretar. En su planteo original se procedi´ o de esta manera, ver
[27]:

Se fabrica un aparato aritm´ etico que permite expresar enuncia-
dos l´ ogicos y enunciados matem´ aticos como n´ umeros.
Se demuestra la existencia de funciones aritm´ eticas que indican
si una proposici´ on es demostrable.
Se construye una proposici´ on (muy compleja), que llamaremos
G, cuyas propiedades se estudian.
Se demuestran dos proposiciones: G ⇒ ¬ G y ¬ G ⇒ G.

Se concluye de aqu´ ı que o bien la aritm´ etica es inconsistente o
´
bien existen proposiciones no demostrables, como G. Este es el
punto que debe ser interpretado en forma dial´ ectica.
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