Page 239 - Dialectica

La dial´ ectica en las ciencias

semos, a titulo de ejemplo, en la conjetura de Christian Golbach (1690,
1794) formulada en 1742 –todo n´ umero par es la suma de dos primos–
o la simple afirmaci´ on que en el desarrollo decimal de π exista 100 ve-
ces seguidas, por ejemplo, el d´ ıgito 8. A partir de una proposici´ on no
conocida se pueden realizar especulaciones sumamente interesantes las
cuales se encuentran dentro del ´ ambito de la dial´ ectica.
Es interesante ilustrar estos problemas con un ejemplo matem´ ati-
co muy simple. Consideremos el problema cl´ asico: demostrar que un
n´ umero irracional elevado a otro irracional puede dar un resultado
racional. Existe una demostraci´ on –no aceptada por los matem´ aticos
constructivos– que se encuentra en el ´ ambito de la dial´ ectica. Conside-
remos las proposiciones:

y
p: existen dos n´ umeros irracionales x, y que cumplen que x es ra-
cional.
√
a
q: a es un n´ umero racional, donde a = 2.
Por el momento ignoremos el valor l´ ogico de las proposiciones p y q. Es
inmediato que es una tesis q ⇒ p puesto que si q es una tesis, el teorema
que se intenta demostrar tambi´ en es una tesis. Pero tambi´ en es una tesis
a
a a
2
N q ⇒ p puesto que si a fuese irracional, entonces (a ) = a =
2 y tambi´ en se pueden encontrar dos irracionales en las condiciones
pedidas. De q ⇒ p, N q ⇒ p son tesis sigue que p es una tesis.
El razonamiento espont´ aneo dice que: o bien se cumple q y enton-
ces p es verdadero, o bien se cumple N q y tambi´ en p es verdadero.
Sin embargo no es tan simple deducir este resultado de las reglas for-
males. Un razonamiento posible ser´ ıa as´ ı: 1) q ⇒ p; 2) N q ⇒ p; 3)
N p ⇒ NN q por MTE en 2); 4) N p ⇒ q por PNN en 3); 162 5)
N p ⇒ p por T en 1) y 4); 6) NN p por PC en 5); 7) p por PNN en
6). Este razonamiento muestra que, desde el punto de vista formal, no
es necesario suponer que las alternativas para q son verdadero o falso.

162
Este paso no es tan inmediato seg´ un las reglas formales. Ocurre as´ ı: 3) N p ⇒
NN q por MTE en 2); 3a) N p como hip´ otesis de apertura de un razonamiento su-
bordinado; 3b) N p ⇒ NN q por copia de 3) en el razonamiento subordinado. 3c)
NN q por MP en 3a) y 3b); 3d) q por PNN en 3c); 4) N p ⇒ q por la introducci´ on de
la implicaci´ on y fin del esquema subordinado.
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