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Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

En la l´ ogica binaria se recurre a la proposici´ on (¬ p ⇒ p) ⇒ p
–que ha sido elegido por Frege como un axioma de la l´ ogica y que es
reconocida como el principio de contradicci´ on PC– y se argumenta
que a partir de esta proposici´ on toda proposici´ on es v´ alida. En la l´ ogica
dial´ ectica esto no es as´ ı. Es claro que que una proposici´ on puede tomar
el valor tesis y que su negaci´ on puede tomar, entonces, el valor ant´ ıtesis
sin que nada grave ocurra.
Examinemos entonces el problema de G¨ odel en t´ erminos dial´ ecti-
cos. G¨ odel demuestra –mediante cadenas formales deductivas de razo-
namientos– las dos proposiciones mencionadas. Estas dos proposicio-
nes nos dicen, razonando por absurdo, que tanto G como la negaci´ on
de G son, de alg´ un modo, verdaderas lo cual nos indica que poseen
un valor intermedio entre “verdadero” y “falso”, lo que hemos llamado
un valor dial´ ectico. En definitiva, la tesis de G¨ odel indica que en to-
do sistema axiom´ atico, con suficiente amplitud como para contener la
aritm´ etica, se pueden construir proposiciones dial´ ecticas a pesar de in-
tentar fabricar solamente verdades estrictas. En otras palabras, que es
posible construir razonamientos que violan el principio de mezcla PM,
algo que no lesiona para nada los resultados de la dial´ ectica.
El resultado de G¨ odel formalmente no se puede simbolizar como
1 ⇒ a donde a es un valor dial´ ectico porque esto no es posible para la
implicaci´ on dial´ ectica. Se puede simbolizar, en cambio como N G ⇒
G implica que G = a o sea, la matem´ atica permite crear una enun-
ciado no decidible que solamente se puede interpretar como un valor
dial´ ectico.
Si se procediera como fue habitual en la matem´ atica en al pasado al
encontrar una contradicci´ on se agregar´ ıa G como un nuevo axioma de
la aritm´ etica. Sin embargo, es posible conjeturar que el propio teorema
de G¨ odel, aplicado a esta nueva situaci´ on, conducir´ ıa a otro enunciado
del tipo N G 1 ⇒ G 1 y as´ ı sucesivamente.
El descubrimiento de G¨ odel no es un caso aislado en la matem´ ati-
ca. Se conocen otros casos, pero no son espectaculares como ´ este, ni
siquiera son reconocidos como problemas dial´ ecticos.
Un similar problema similar lo plantean las proposiciones que ha-
cen referencia a propiedades matem´ aticas todav´ ıa no conocidas. Pen-
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