Page 236 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

de la implicaci´ on cada una de estas teor´ ıas es perfectamente coherente
puesto que los valores dial´ ecticos no se mezclan. En forma adicional,
las propiedades de la l´ ogica de predicados tambi´ en valen puestos que
las propiedades de los cuantificadores cl´ asicos son v´ alidas en un cono.
De acuerdo con esto todo sucede entre los valores dial´ ecticos tal como
si ocurriese en la l´ ogica formal binaria. Esta situaci´ on suministra una
importante pista sem´ antica sobre el empleo de la l´ ogica dial´ ectica en
las ciencias.
La construcci´ on de teoremas a partir de los axiomas –todos los
axiomas valen 1 menos el axioma de las paralelas que pueden valer
a, b, c seg´ un se elija, supongamos que se elige el valor a– hace que los
teoremas –la suma de los ´ angulos de un tri´ angulo, por ejemplo– po-
sean valores de S 1 . De esta manera se establece la validez l´ ogica de la
geometr´ ıa euclidiana. Otro tanto ocurre con la geometr´ ıa el´ ıptica y con
la geometr´ ıa hiperb´ olica. No es necesario cambiar ning´ un teorema ni
ninguna demostraci´ on en cada teor´ ıa.
De esta manera la construcci´ on de teoremas puede continuar sin
ocurra una contradicci´ on. Todos los teoremas de las tres geometr´ ıas
son simult´ aneamente v´ alidos. Por extensi´ on, se debe concluir que son
contradicciones tales a ⇒ b = 0 como a ⇒ c = 0. De esta manera
cada teor´ ıa geom´ etrica puede desarrollarse aplicando todas las reglas
formales sin advertir que algunos teoremas valen a, b, c y otros valen 1.
Este es un punto esencial como consecuencia de la propiedades de las
funciones implicaci´ on.
El ejemplo de las tres (o m´ as) geometr´ ıas sirve de modelo general
para analizar en resto de las ciencias, formales, naturales o sociales.
Permite ver la raz´ on por la cual se pueden aceptar teor´ ıas contradicto-
rias entre s´ ı, sin que esto implique una violaci´ on de las reglas formales.
Por esta raz´ on se ha lo ha analizado en detalle desde el punto de vista
dial´ ectico.

La dial´ ectica en la matem´ atica

La matem´ atica no escap´ o al problema general de la geometr´ ıa. El
desarrollo del ´ algebra nos muestra una historia similar. El concepto
matem´ atico de “grupo” fue desarrollado a lo largo del siglo 19. ¿Qu´ e vin-
236