Page 83 - Dialectica

La formalizaci´ on de la dial´ ectica

Definici´ on 3 Un conjunto L se dice parcialmente ordenado –o sim-
plemente ordenado– si existe una relaci´ on ≤, definida entre los ele-
mentos de L, que cumple para todo x, y, z ∈ L:

1. Reflexiva o idempotente (I): x ≤ x.

2. Antisim´ etrica: si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y.
3. Transitiva (T): si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z.

Por extensi´ on se dice que x < y si se cumple x ≤ y pero x 6= y.
El ejemplo m´ as simple es la cadena, un conjunto ordenado lineal-
mente: dado dos elementos x, y, o bien x ≤ y o bien y ≤ x. Todos los
elementos son comparables entre s´ ı. Un ejemplo m´ as complejo es 2D4
en la Figura 4. En este caso, dos elementos son comparables si est´ an
unidos por trazos en el diagrama. As´ ı por ejemplo se tiene: falso ≤ tie-
rra ≤ seco ≤ verdadero. En cambio, tierra y fuego no son comparables
entre s´ ı pero poseen a seco como mayor o igual a ambos.

Definici´ on 4 Un conjunto L se dice que es un reticulado si cumple,
para x, y, z ∈ L:

1. Es un conjunto parcialmente ordenado por la relaci´ on ≤.

2. Para todo par de elementos x, y existe un elemento x . y que es
el mayor de los elementos inferiores a ambos, esto es, si z ≤ x y
z ≤ y, entonces z ≤ x . y.

3. Para todo par de elementos x, y existe un elemento x + y que es
el menor de los elementos superiores a ambos, esto es, si x ≤ z y
y ≤ z, entonces x + y ≤ z.

4. Existe un elemento m´ aximo, que llamamos 1, y un elemento
m´ ınimo, que llamamos 0.

Es inmediato que las operaciones definidas en el reticulado son
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