Page 85 - Dialectica

La formalizaci´ on de la dial´ ectica

Las propiedades de monoton´ ıa de las operaciones del reticulado
son importantes y se encuentran en el siguiente teorema.

Teorema 1 Si x, y 1 , y 2 , . . . , y p , z 1 , z 2 , . . . , z q son elementos de un re-
ticulado, entonces si x ≤ y i y z j ≤ x se cumplen

x ≤ y 1 . y 2 . · · · . y p x ≤ y 1 + y 2 + · · · + y p

z 1 . z 2 . · · · . z q ≤ x z 1 + z 2 + · · · + z q ≤ x

las propiedades de monoton´ ıa de las operaciones.

Demostraci´ on. Es claro que x ≤ y 1 . y 2 puesto que y 1 . y 2 es la m´ axi-
ma cota inferior de y 1 , y 2 y x debe ser menor o igual que esta cota.
Aplicando este mismo resultado a y 1 . y 2 y y 3 se agrega el siguiente fac-
tor y as´ ı sucesivamente. Con esto queda demostrada la primera pro-
piedad. La segunda propiedad es inmediata puesto que x ≤ y 1 + y 2
porque x ≤ y 1 ≤ y 1 + y 2 . Aplicando reiteradamente este resulta-
do, est´ a demostrada. La tercera propiedad es inmediata puesto que
z 1 . z 2 ≤ z 1 ≤ x. Aplicando sucesivamente este resultado, est´ a de-
mostrada. z 1 + z 2 ≤ x puesto que z 1 + z 2 es la menor de las cotas
superiores a z 1 , z 2 , luego x es mayor o igual. Aplicando reiteradamen-
te este resultado, como en el primer caso, queda demostrada la cuarta
propiedad.
Entre dos reticulados se pueden definir diversas correspondencias
entre sus elementos:

Definici´ on 7 Se llama homomorfismo H entre dos reticulados a una
correspondencia entre x i ∈ L e y i ∈ M tal que a los elementos x 1 . x 2
y x 1 + x 2 de L le corresponden, respectivamente, y 1 . y 2 y y 1 + y 2 en
M. En otras palabras, conserva las dos operaciones entre los elementos
de los reticulados. Si L coincide con M se llama automorfismo. Si la
correspondencia es biun´ ıvoca entre L y M, se llama isomorfismo. Si

los correspondientes de x 1 . x 2 y x 1 + x 2 son, respectivamente y 1 + y 2
y y 1 . y 2 , se llama isomorfismo dual o inverso o anti–isomorfismo.
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