Page 20 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Aljabar

7. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus
dan umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan
empat digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun
kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh
bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur
mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur
mereka saat ini?

Jawab:
Umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun dan jika umur Agus dan
umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat
digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna.

Ini menunjukkan bahwa umur Agus dan umur Fauzan merupakan bilangan
dua digit.

Misal:

Umur Agus = AB

Umur Fauzan = CD
Umut sekarang:

ABCD = x 2

1000  A + 100  B + 10  C + D = x 2  (1)

Umur pada 23 tahun kemudian:

(A + 2)(B + 3)(C + 2)(D + 3) = y 2

(1000  A + 2000) + (100  B + 300) + (10  C + 20) + (D + 3) = y 2

1000  A + 100  B + 10  C + D + 2000 + 300 + 20 + 3 = y 2

1000  A + 100  B + 10  C + D + 2323 = y 2  (2)

Eliminasi (2) dengan (1):

1000  A + 100  B + 10  C + D + 2323 = y 2

1000  A + 100  B + 10  C + D = x 2 –
2
2323 = y – x 2

101  23 = (y + x)  (y – x)

Siap OSN Matematika SMP 2015 11