Page 118 - 13 Pitagoras

~
I
I
I
!
1 , 1 H, I ! , ! 1,1!11, ! 1 ! , J ! , l!, 1,J, 1 U UI ! ll ! ! ! , 1,1, 1
,
1
( 3) 12
f· -
CP = 2 _ = 1,013643265.
J,21
La diferencia es entonces de algo más de un 1 % de una octava
o, de modo equivalente, casi un cuarto de semitono. Esta diferen-
cia se debe a que el cálculo de la fracción que define la quinta es
incompatible con la octava, como se demuestra sin dificultad.
Para ello, se puede estudiar si existen dos exponentes cuales-
quiera, x e y, que permitan «casar» las dos fracciones:

De la última expresión se deduce que sería lo mismo que hallar
un número que fuera a la vez potencia de 2 y de 3. Sin embargo, y
dado que tanto 2 como 3 son números primos, tal cosa entraría en
contradicción con el teorema fundamental de la aritmética, según
el cual todo entero positivo tiene una única representación como
producto de números primos. Este teorema, postulado por Eucli-
des, fue demostrado de forma completa por primera vez por el
matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855). De él se sigue que
los intervalos de quintas y octavas definidos por los pitagóricos
nunca se emparejarán, o lo que es lo mismo, que no es posible la
existencia de una escala cromática sin coma pitagórica.

LOSNOMBRESDELASNOTAS

Los griegos nombraban las notas siguiendo las primeras letras del
alfabeto jónico, asignando letras diferentes para un mismo sonido
alterado en medio tono o doblemente ascendido. Por ejemplo, el

118 LA ARMONIA DEL COSMOS