Page 87 - định lý hình học - hứa thuần phỏng

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÙNG MINH 85

2
2
2
2
KL: P A + PC = PB + PD .
Suy xét 1: Ta lñi döng bèn góc vuông cõa hình A E D
chú nhªt, đº làm cho P A,PB,PC,PD trð thành
c¤nh huy·n cõa các tam giác vuông muèn vªy,
ta düng EF ∥ AB và đi qua P.
Tø đành lý Pitago, ta suy ra: P
2
2
2
2
2
2
P A = AE + PE , PC = CF + PF .
B F C
cëng tøng v¸ cõa hai đ¯ng thùc trên vîi nhau ta đưñc:
2
2
2
2
2
P A + PC = AE +CF + PE + PF 2
2
2
2
2
2
Tương tü như trên ta có: PB + PD = BF + DE + PE + PF 2
Nhưng AE = BF,CF = DE, nên ta có thº chùng minh đưñc k¸t luªn cõa bài ra mët
cách d¹ dàng.
Suy xét 2: Lñi döng tính ch§t hai đưíng chéo A D
hình chú nhªt b¬ng nhau và c­t nhau t¤i trung
điºm O cõa méi đưíng đº chùng minh bài này.
Ta nèi PO, thì PO s³ trð thành trung tuy¸n cõa O
tam giác P AC và PBD; tø đành lý v· têng các
bình phương cõa hai c¤nh cõa mët tam giác, ta P
có:
B C
AC 2 BD 2
2
2
2
2
2
2
P A + PC = 2PO + , PB + PD = 2PO +
2 2
Vì AC = BD, nên đ¯ng thùc trong k¸t luªn cõa bài ra là đúng.
Muèn chùng minh têng hay hi»u cõa tích các đo¤n th¯ng, ta dùng ba phương
pháp sau đây :

(1) Lñi dùng các tam giác đçng d¤ng. Tø nhúng tam giác đçng d¤ng, ta có thº suy
ra tích m§y đo¤n th­ng này b¬ng tích các đo¤n th¯ng kia, đem cëng hay trø các
tích đó vîi nhau ta s³ đưñc đ¯ng thùc c¦n chùng minh.

Ví dö 2.13.2

Cho mët tù giác nëi ti¸p, chùng minh r¬ng têng A
các tích cõa hai c¤nh đèi nhau, b¬ng tích cõa hai
D
đưíng chéo (đành lý Ptolémée, nhà thiên văn và
toán håc Hy L¤p)
G.T.: Tù giác ABCD nëi ti¸p.
K.T.: AB.CD + AD.BC = AC.BD E

B C

A
LT X sÕách hÕ¬nh hò»c
E