Page 23 - 数学理科-《优化探究》高考专题复习

专题一 集合、 常用逻辑用语、 不等式、 函数与导数

[ 类题通法] 利用导数研究函数的极值与最值

１． 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用
[ 方法结论]

况 ． 大多数情况下, 这类问题可以归结为一个含有参 １． 求函数 y＝ f x ) 在某个区间上的极值的步骤
(

数的一元二次不等式的解集的讨论: 第一步: 求导数 f ′ ( x );

( １ ) 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根 第二步: 求方程 f ′ ( x ) ＝０ 的根 x ０ ;

时依据根的大小进行分类讨论 ． 第三步: 检查 f ′ ( x ) 在 x＝x ０ 左右的符号:

( ２ ) 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等 ① 左正右负 ⇔ f x ) 在 x＝x ０ 处取极大值;
(

式对应方程的判别式进行分类讨论 ． ② 左负右正 ⇔ f x ) 在 x＝x ０ 处取极小值 ．
(

２． 分离参数法在求解已知单调性求参数范围中的应用 ２． 求函数 y＝f x ) 在区间[ a , b ] 上的最大值与最小值的
(
(
设可导函数 f x ) 在某个区间内单调递增( 或递减), 步骤

则可以得出函数 f x ) 在这个区间内 f ′ ( x ) ≥０ ( 或 第一步: 求函数 y＝f x ) 在区间( a , b ) 内的极值( 极大
(
(

f ′ ( x ) ≤０ ), 从而转化为恒成立问题来解决( 注意等 值或极小值);

号成立的检验) ． 第二步: 将 y＝ f x ) 的各极值与 f a ), ( b ) 进行比较,
(
(
f

[ 演练冲关] 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值 ．
(
[ 典例] ( １ )( ２０１４ 高考新课标全国 Ⅱ 卷) 设函数 f x ) ＝
２
１． 已知函数 f x ) ＝x－ ＋１－alnx , a＞０． 讨论 f x ) 的
(
(
x πx
２
２
f
()
３sin ． 若存在 fx 的极值点x ０ 满足x ０ ＋ [( x ０ )] ＜
单调性 ． m
m , 则 m 的取值范围是 ( )
２

A． ( －∞ , －６ ) ∪ ( ６ , ＋∞ )

B． ( －∞ , －４ ) ∪ ( ４ , ＋∞ )
C． ( －∞ , －２ ) ∪ ( ２ , ＋∞ )

D． ( －∞ , －１ ) ∪ ( １ , ＋∞ )
[ 课堂记录]

( ２ ) 已知常数a≠０ ,( x ) ＝alnx＋２x．
f

(
２． ( ２０１７ 武汉模拟) 已知函数 f x ) ＝xlnx． ① 当a＝－４ 时, 求 f x ) 的极值;
(
()
若函数 g x ) ＝ f x ) ＋ax 在区间[ e , ＋ ∞ ) 上为增函 ②当 fx 的最小值不小于－a时, 求实数a的取值范围．
２
(
(
数, 求a 的取值范围 ． [ 课堂记录]

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情
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