Page 26 - 数学理科-《优化探究》高考专题复习

高考专题复习 数学( 理)
[ 类题通法] 导数、 函数、 不等式的交汇问题

数学思想在用导数研究方程根或零点问题中的应用
函数、 导数、 不等式的交汇命题是课标卷命题的热点, 也
是每年高考必考内容, 常考的角度主要有不等式恒成立
的单调性, 从而研究函数在不同区间上的函数取值, 利
问题及证明不等式, 综合性能有较大的区分度 ．
用数形结合 来 求 解 函 数 的 零 点 个 数 或 参 数 的 取 值 范
交汇点一 不等式恒成立问题
围 ． 在求解的过程中要注意函数零点的存在性定理及

分类讨论思想的应用 ． [ 典例 １ ] ( ２０１７ 洛阳模拟) 设函数 f x ) ＝ a ３ ３
x －
(
３ ２
[ 演练冲关]
２
x ＋ ( a＋１ ) x＋１ ( 其中常数a∈R ) ．
m ( １ ) 已知函数 f x ) 在 x＝１ 处取得极值, 求a 的值;
(
１． ( ２０１６ 江西宜春中学模拟) 设函数 f x ) ＝lnx＋ ,
(
x
２
( ２ ) 已知不等式 f ′ ( x ) ＞x －x－a＋１ 对任意 a∈ ( ０ ,
m∈R．
＋∞ ) 都成立, 求 x 的取值范围 ．
( １ ) 当 m＝e ( e 为 自 然 对 数 的 底 数) 时, 求 f x ) 的 极
(
[ 课堂记录]
小值;

x
( ２ ) 讨论函数 g x ) ＝ f ′ ( x ) － 零点的个数 ．
(
３

１
２． 已知函数 f x ) ＝ －alnx ( a∈R ) ．
(
x
( １ ) 若h ( x ) ＝ f x ) －２x , 当a＝－３ 时, 求h ( x ) 的单调
(
递减区间;

( ２ ) 若函数 f x ) 有唯一的零点, 求实数a 的取值范围 ．
(

[ 类题通法]
等价转化思想在求解不等式恒成立问题中的两种方法

( １ ) 分离参数法: 若能够将参数分离, 且分离后含 x 变

量的函数关系式的最值易求, 则用分离参数法 ．

即 ①λ≥ f x ) 恒成立, 则λ≥ f x ) max ．
(
(

②λ≤ f x ) 恒成立, 则λ≤ f x ) ．
(
(
min

( ２ ) 最值转化法: 若参数不易分离或分离后含 x 变量的

函数关系式的最值不易求, 则常用最值转化法 ． 可通过

求最值建立关于参数的不等式求解 ． 如 f x ) ≥０ , 则只
(

(
需 f x ) ≥０．
min

对于函数的零点问题, 往往通过利用导数来研究函数
２
— ２ —