Page 31 - 数学理科-《优化探究》高考专题复习

专题二 三角函数、 平面向量
由图象求 ＝Asin ( ωx＋ ) 的解析式 π ;“ 第三点”( 即图象下降时与 x 轴的交点) 时 ωx＋ φ
y
φ
２

[ 方法结论] ３π
＝π ;“ 第四点”( 即图象的“ 谷点”) 时ωx＋ φ ＝ ;“ 第五
２
函数 y＝Asin ( ωx＋ φ ) 解析式的确定
利用函数图象的最高点和最低点确定 A , 利用周期确 点” 时ωx＋ φ ＝２π．

定ω , 利用图象的某一已知点确定 ． 三角函数的性质
φ
[ 题组突破]
[ 方法结论]
(
１． ( ２０１７ 贵阳模拟) 已知函 数 f x )
１． 三角函数的单调区间
)(
＝Asin ( ωx＋ φ A＞０ , ω＞０ , ０＜ φ
[
＜π ), 其 导 数 f ′ ( x ) 的 图 象 如 图 所 y＝sinx 的单调递增区间是 ２kπ－ π , ２kπ＋ π ] ( k∈
２ ２
π
示, 则 f ( ) 的值为 ( ) π ３π
[
２ Z ), 单调递减区间是 ２kπ＋ , ２kπ＋ ] ( k∈Z );
２ ２
A．２ ２ B．２ y＝cosx 的单调递增区间是[ ２kπ－π , ２kπ ]( k∈Z ), 单
２ ２ 调递减区间是[ ２kπ , ２kπ＋π ]( k∈Z );
C．－ D．－
２ ４
æ π π ö
y＝tanx 的递增区间是 kπ－ , kπ＋ ÷ ( k∈Z ) ．
ç
[ 自主解答] è ２ ２ ø
２． 三角函数奇偶性判断
y＝Asin ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ ( k∈Z ) 时为奇函数; 当 φ ＝
φ

π
kπ＋ ( k∈Z ) 时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx＋ φ ＝
２

π
kπ＋ ( k∈Z ) 求得 ．
２
π
φ
y＝Acos ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ＋ ( k∈Z ) 时为奇函数; 当
２
２． ( ２０１７ 沈阳模拟) 某函数部分图象如图所示, 它的函 φ ＝kπ ( k∈Z ) 时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx＋ φ ＝kπ
( k∈Z ) 求得 ．
数解析式可能是 ( )
φ
y＝Atan ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ ( k∈Z ) 时为奇函数 ．
３． 三角函数周期性的求法
函数 y＝Asin ( ωx＋ φ )( 或 y＝Acos ( ωx＋ φ )) 的最小正
２π
周期 T＝ ． 应特别注意 y＝|Asin ( ωx＋ φ | 的周期
)
|ω|
π
æ ５ ３πö æ ６ ２πö 为 T＝ ．
A． y＝sin － x＋ ÷ B． y＝sin ç x－ ÷ |ω|
ç
è ６ ５ ø è ５ ５ ø
４． 求解三角函数的值域( 最值) 常见到以下几种类型
æ ６ ３πö æ ５ ３πö
C． y＝sin ç x＋ ÷ D． y＝－cos ç x＋ ÷
è ５ ５ ø è ６ ５ ø ( １ ) 形如 y＝asinx＋bcosx＋c 的 三 角 函 数 化 为 y＝
[ 自主解答] Asin ( ωx＋ φ ＋k 的形式, 再求最值( 值域) ．
)
２
( ２ ) 形如 y＝asinx＋bsinx＋c 的 三 角 函 数, 可 先 设
sinx＝t , 化为关于t的二次函数求值域( 最值) ．

( ３ ) 形如 y＝asinxcosx＋b ( sinx±cosx ) ＋c 的三角
函数, 可先设t＝sinx±cosx , 化为关于t的二次函数
求值域( 最值) ．

[ 典 例 ] ( ２０１７ 四 川 绵 阳 模 拟 ) 已 知 函 数 f x ) ＝
(
π ３
２
cosxsin ( x＋ ) － ３cosx＋ , x∈R．
３ ４
[ 误区警示]
( １ ) 求 f x ) 的最小正周期;
(
用五点法求 φ 值时, 往往以寻找“ 五点法” 中的第一个
(
( ２ ) 求 f x ) 的单调递增区间;
点为突破口 ． “ 第一点”( 即图象上升时与 x 轴的交点)
( ３ ) 求 f x ) 在[ － π π
(
, ] 上的最大值和最小值 ．
时ωx＋ φ ＝０ ;“ 第二点”( 即图象的“ 峰点”) 时 ωx＋ φ ＝ ４ ３

７
— ２ —