Page 27 - 数学理科-《优化探究》高考专题复习

专题一 集合、 常用逻辑用语、 不等式、 函数与导数
( ２ ) 构造“ 形似” 函数: 对原不等式同解变形, 如移项、 通
[ 演练冲关]

分、 取对数; 把不等式转化为左右两边是相同结构的式
－x
２
(
１． ( ２０１７ 南昌模拟) 已知函数 f x ) ＝e [ x ＋ ( １－m ) x
子的结构, 根据“ 相同结构” 构造辅助函数 ．
＋１ ]( e为自然对数的底数, m 为常数) ．
( ３ ) 主元法: 对于( 或可化为)( x １ x ２ ≥A 的不等式, 可
, )
f
( １ ) 若曲线 y＝ f x ) 与 x 轴相切, 求实数 m 的值;
(

(
( ,))
, ( ) ( ) 成 选x １ ( 或x ２ ) 为主元, 构造函数 fx , x ２ )( 或 fx １ x ．
( ２ ) 若存在实数 x １ x ２ ∈ [ ０ , １ ] 使得 ２ f x １ ＜ f x ２

( ４ ) 放缩法: 若所构造函数最值不易求解, 可将所证明
立, 求实数 m 的取值范围 ．

不等式进行放缩, 再重新构造函数 ．

[ 演练冲关]
２
２． ( ２０１７ 吉林实验中学模拟) 已知函数 f x ) ＝ ( ax －x
(

x
＋a ) e ．
( １ ) 讨论函数 f x ) 的单调性;
(
１
( ２ ) 设 g x ) ＝blnx－x ( b＞０ ), 当 a＝ 时, 若对任意
(
２
x １ ∈ ( ０ , ２ ), 存在 x ２ ∈ [ １ , ２ ], 使 f x １ ＋g x ２ ≥０ 成
( )
( )

立, 求实数b 的取值范围 ．

交汇点二 证明不等式
１＋lnx
[ 典例 ２ ] ( ２０１７ 青岛二中模拟) 已知 f x ) ＝ ．
(
x
(
( １ ) 求函数 y＝ f x ) 的单调区间;
( ２ ) 若关于 x 的方程 f x ) ＝x －２x＋k 有实数解, 求
２
(

实数k 的取值范围;
１ １
∗
(
( ３ ) 当 n∈ N 时, 求 证: n f n ) ＜２＋ ＋ ＋
２ ３
１
＋ ．
n－１
１ ２
３． ( ２０１７ 武汉调研) 已知函数 f x ) ＝ x ＋ ( １－a ) x－
(
[ 课堂记录]
２
alnx．
(
( １ ) 讨论 f x ) 的单调性;

( ２ ) 设a＞０ , 证明: 当 ０＜x＜a 时,( a＋x ) ＜ f a－x );
f
(

x １ ＋x ２
(
, 是 fx ) 的两个零点, 证明: ′ ( ) ＞０．
( ３ ) 设x １ x ２ f
２

[ 类题通法]
构造函数法证明不等式中常见的四种方法
( １ ) 移项法: 证明不等式 f x ) ＞ g x )( ( x ) ＜ g x )) 的
(
f
(
(

问题转化为证明 f x ) －g x ) ＞０ ( ( x ) －g x ) ＜０ ),
(
(
(
f

进而构造辅助函数h ( x ) ＝ f x ) － g x ) ．
(
(

３
— ２ —