Page 23 - 数学文科-《优化探究》高考专题复习
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专题一   集合、 常用逻辑用语、 不等式、 函数与导数

               利用导数研究函数的极值与最值                                             [ 演练冲关]
                                                                           1
                                                                               2
                                                                                                (
                                                                 (
                      [ 方法结论]                          1. 设函数 f x ) =lnx- ax -bx , 若 x=1 是 f x ) 的极
                                                                           2
   1. 求函数 y= f x ) 在某个区间上的极值的步骤                          大值点, 求a 的取值范围 .
                (
     第一步: 求导数 f ′ ( x );
                                 ;
     第二步: 求方程 f ′ ( x ) =0 的根 x 0

                              左右的符号:
     第三步: 检查 f ′ ( x ) 在 x=x 0
                  (          处取极大值;
     ① 左正右负 ⇔ f x ) 在 x=x 0
                  (          处取极小值 .
     ② 左负右正 ⇔ f x ) 在 x=x 0
   2. 求函数 y=f x ) 在区间[ a , b ] 上的最大值与最小值的
                (
     步骤

     第一步: 求函数 y=f x ) 在区间( a , b ) 内的极值( 极大
                       (
     值或极小值);                                       
                                     f
                   (
     第二步: 将 y= f x ) 的各极值与 f a ), ( b ) 进行比较,
                                  (

     其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值 .
   [ 典例]   已知常数a≠0 ,( x ) =alnx+2x.
                        f
                        (
     ( 1 ) 当a=-4 时, 求 f x ) 的极值;

     ( 2 ) 当 f x ) 的最小值不小于 -a 时, 求 实 数 a 的 取 值
            (
     范围 .
     [ 课堂记录]                                                                3   2
                                                                        { -x +x ( x<1 ),
                                                                   (
                                                       2. 已知函数 f x ) =
                                                                         alnx ( x≥1 ) .
                                                         ( 1 ) 求 f x ) 在区间( -∞ , 1 ) 上的极小值和极大值点;
                                                                (

                                                         ( 2 ) 求 f x ) 在区间[ -1 , e ]( e为自然对数的底数) 上的
                                                                (

                                                         最大值 .
















     [ 类题通法]
     1. 对于含参数的函数极值、 最值问题, 要注意分类讨论
       
       思想的应用 . 注意函数的零点不一定是极值点 .
       
     2. 在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小
       
       值, 在不是闭区间的情况下, 函数在这个区间上的最
       
       大值和最小值可能都存在、 也可能只存在一个、 或既
       
       无最大值也无最小值; 在一个区间上, 如果函数只有                                 完成专题练( 五)
       
       一个极值点, 则这个极值点就是最值点 .
       
                                                  
                                                     9
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