Page 28 - 数学文科-《优化探究》高考专题复习

高考专题复习 数学( 文)
[ 自主解答] ４． 求解三角函数的值域( 最值) 常见到以下几种类型
( １ ) 形如 y＝asinx＋bcosx＋c 的 三 角 函 数 化 为 y＝
)
Asin ( ωx＋ φ ＋k 的形式, 再求最值( 值域) ．

( ２ ) 形如 y＝asinx＋bsinx＋c 的 三 角 函 数, 可 先 设
２
sinx＝t , 化为关于t的二次函数求值域( 最值) ．
( ３ ) 形如 y＝asinxcosx＋b ( sinx±cosx ) ＋c 的三角

函数, 可先设t＝sinx±cosx , 化为关于t的二次函数
求值域( 最值) ．
[ 典例] ( ２０１７ 绵阳模拟) 已知函数 f x ) ＝cosxsin ( x
(

π ３
２
＋ ) － ３cosx＋ , x∈R．
３ ４
(
( １ ) 求 f x ) 的最小正周期;

(
( ２ ) 求 f x ) 的单调递增区间;
[ 误区警示] π π
( ３ ) 求 f x ) 在[ － , ] 上的最大值和最小值 ．
(
用五点法求 φ 值时, 往往以寻找“ 五点法” 中的第一个 ４ ３

点为突破口 ． “ 第一点”( 即图象上升时与 x 轴的交点) [ 课堂记录]

时ωx＋ φ ＝０ ;“ 第二点”( 即图象的“ 峰点”) 时 ωx＋ φ ＝

π
;“ 第三点”( 即图象下降时与 x 轴的交点) 时 ωx＋ φ
２

３π
＝π ;“ 第四点”( 即图象的“ 谷点”) 时ωx＋ φ ＝ ;“ 第五
２

点” 时ωx＋ φ ＝２π．

三角函数的性质

[ 方法结论]

１． 三角函数的单调区间

[
π
π
y＝sinx 的单调递增区间是 ２kπ－ , ２kπ＋ ] ( k∈
２ ２

[
Z ), 单调递减区间是 ２kπ＋ π , ２kπ＋ ３π ] ( k∈Z );
２ ２

y＝cosx 的单调递增区间是[ ２kπ－π , ２kπ ]( k∈Z ), 单
调递减区间是[ ２kπ , ２kπ＋π ]( k∈Z );
æ π π ö
y＝tanx 的递增区间是 kπ－ , kπ＋ ÷ ( k∈Z ) ．
ç
è ２ ２ ø
２． 三角函数奇偶性判断
[ 类题通法]
φ
y＝Asin ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ ( k∈Z ) 时为奇函数; 当 φ ＝ １． 整体思想在三角函数性质中的应用
π
kπ＋ ( k∈Z ) 时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx＋ φ ＝ 在求解 y＝Asin ( ωx＋ φ ) 的奇偶性、 单调性、 对称性
２
及已知区间上的最值问题时往往将 ωx＋ φ 看作整
π
kπ＋ ( k∈Z ) 求得 ．
２ 体, 利用 y＝Asinx 的图象与性质进行求解 ．

π ２． 研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用 ．
φ
y＝Acos ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ＋ ( k∈Z ) 时为奇函数; 当
２
[ 演练冲关]
φ ＝kπ ( k∈Z ) 时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx＋ φ ＝kπ
(
( k∈Z ) 求得 ． １． ( ２０１７ 石家庄模拟) 若函数 f x ) ＝ ３sin ( ２x＋θ ) ＋
π
φ
y＝Atan ( ωx＋ φ ), 当 ＝kπ ( k∈Z ) 时为奇函数 ． cos ( ２x＋θ )( ０＜θ＜π ) 的图象关于( , ０ ) 对称, 则函数
３． 三角函数周期性的求法 ２
, ] 上的最小值是
(
函数 y＝Asin ( ωx＋ φ )( 或 y＝Acos ( ωx＋ φ )) 的最小正 f x ) 在[ － π π ( )
４ ６
２π
)
周期 T＝ ． 应特别注意 y＝|Asin ( ωx＋ φ | 的周期 A．－１ B．－ ３
|ω|
π １ ３
为 T＝ ． C．－ D．－
|ω| ２ ２
４
— ２ —