Page 25 - 数学文科-《优化探究》高考专题复习

专题一 集合、 常用逻辑用语、 不等式、 函数与导数
交汇点二 证明不等式
导数、 函数、 不等式的交汇问题
[ 典例 ２ ] ( ２０１７ 吉林实验中学模拟) 已知函数 f x )
(
x
＝ ( ax －x＋a ) e ．
２

是每年高考必考内容, 常考的角度主要有不等式恒成立 ( １ ) 讨论函数 f x ) 的单调性;
(
问题及证明不等式, 综合性能有较大的区分度 ． ( ２ ) 设 g x ) ＝blnx－x ( b＞０ ), 当 a＝ １ 时, 若对任意
(
２
交汇点一 不等式恒成立问题
x １ ∈ ( ０ , ２ ), 存在 x ２ ∈ [ １ , ２ ], 使 f x １ ＋g x ２ ≥０ 成
( )
( )
３
x －
[ 典例 １ ] ( ２０１７ 洛阳模拟) 设函数 f x ) ＝ a ３ 立, 求实数b 的取值范围 ．
(
３ ２
[ 课堂记录]
２
x ＋ ( a＋１ ) x＋１ ( 其中常数a∈R ) ．

(
( １ ) 已知函数 f x ) 在 x＝１ 处取得极值, 求a 的值;
２
( ２ ) 已知不等式 f ′ ( x ) ＞x －x－a＋１ 对任意 a∈ ( ０ ,
＋∞ ) 都成立, 求 x 的取值范围 ．
[ 课堂记录]

[ 类题通法]
构造函数法证明不等式中常见的四种方法

( １ ) 移项法: 证明不等式 f x ) ＞ g x )( ( x ) ＜ g x )) 的
(
f
(
(

(
f
问题转化为证明 f x ) －g x ) ＞０ ( ( x ) －g x ) ＜０ ),
(
(

进而构造辅助函数h ( x ) ＝ f x ) － g x ) ．
(
(

( ２ ) 构造“ 形似” 函数: 对原不等式同解变形, 如移项、 通

[ 类题通法] 分、 取对数; 把不等式转化为左右两边是相同结构的式

等价转化思想在求解不等式恒成立问题中的两种方法 子的结构, 根据“ 相同结构” 构造辅助函数 ．

, )
f
( １ ) 分离参数法: 若能够将参数分离, 且分离后含 x 变 ( ３ ) 主元法: 对于( 或可化为)( x １ x ２ ≥A 的不等式, 可

)( 或 fx １ x ．
( ,))
(
量的函数关系式的最值易求, 则用分离参数法 ． 选x １ ( 或x ２ ) 为主元, 构造函数 fx , x ２
( ４ ) 放缩法: 若所构造函数最值不易求解, 可将所证明

(
(
即: ①λ≥ f x ) 恒成立, 则λ≥ f x ) max ．
不等式进行放缩, 再重新构造函数 ．
(
(
②λ≤ f x ) 恒成立, 则λ≤ f x ) ．
min
[ 演练冲关]
( ２ ) 最值转化法: 若参数不易分离或分离后含 x 变量的

函数关系式的最值不易求, 则常用最值转化法 ． 可通过 ２． ( ２０１７ 武汉调研) 已知函数 f x ) ＝ x ＋ ( １－a ) x－
１ ２
(
２
求最值建立关于参数的不等式求解 ． 如 f x ) ≥０ , 则只
(
alnx．
需 f x ) ≥０．
(
(
min ( １ ) 讨论 f x ) 的单调性;

[ 演练冲关] ( ２ ) 设a＞０ , 证明: 当 ０＜x＜a 时,( a＋x ) ＜ f a－x );
f
(
２
x １ ＋x ２
(
１． ( ２０１７ 南昌模拟) 已知函数 f x ) ＝e －x [ x ＋ ( １－m ) , 是 fx 的两个零点, 证明: ′ ( ) ＞０．
()
( ３ ) 设x １ x ２ f
２
x＋１ ]( e为自然对数的底数, m 为常数) ．

(
( １ ) 若曲线 y＝ f x ) 与 x 轴相切, 求实数 m 的值;
, ( ) ( ) 成
( ２ ) 若存在实数 x １ x ２ ∈ [ ０ , １ ] 使得 ２ f x １ ＜ f x ２
立, 求实数 m 的取值范围 ．

完成专题练( 六)

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函数、 导数、 不等式的交汇命题是课标卷命题的热点, 也
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