Page 108 - MTK SMK 10 TO ALI 2.tif

BAB III Matriks 97
3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin
Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen a ij dinyatakan
oleh M ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i
i+j
dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1) M ij dinyatakan oleh C ij dinamakan
kofaktor entri a ij.

Jika A adalah sembarang matriks persegi (n x n) dan C ij adalah kofaktor a ij, maka
matriks
⎛ C C C C ⎞
⎜ 11 1 2 1 3 1 n ⎟
⎜ C 2 1 C 22 C 23 C ⎟
2
n
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ C n 1 C n 2 C n 3 C nn ⎠
disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan
dinyatakan dengan Adj (A).

Contoh 28
⎛− 2 1 ⎞
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ 5 4 ⎠
Jawab:
Minor dari matriks A adalah
M 11 = 4 M 21 = 1
M 12 = 5 M 22 = -2

Kofaktor dari matriks A adalah

C 11 = (-1) 1+1 M 11= (1) 4 = 4 C 21 = (-1) 2+1 M 21 = (-1) 1 = -1
C 12 = (-1) 1+2 M 12= (-1) 5 = -5 C 22 = (-1) 2+2 M 22 = (1)(-2) = -2

Matriks kofaktornya adalah
⎛C C ⎞ ⎛ 4 − 5 ⎞
⎜ ⎜ 11 12 ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ C 21 C 22 ⎠ ⎝ −1 − 2 ⎠
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
⎛ 4 − 5 ⎞ T ⎛ 4 − 1 ⎞
Adj ( A ) = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎝ − 1 − 2 ⎠ ⎝ − 5 − 2 ⎠

Contoh 29
⎛− 2 0 5 ⎞ ⎟
⎜
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari A = ⎜ 1 4 − ⎟ 1
⎜ ⎟
⎝ 4 − 2 3 ⎠
Jawab:
Minor dari matriks tersebut adalah:

4 − 1 − 2 0
⋅
⋅
M 11 = = 4 3⋅ – (-2 ⋅) (-1) = 10 M 23 = = -2 ( -2) – 4 0 = 4
− 2 3 4 − 2