Page 101 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 101

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
α) Να βρείτε την εφαπτομένη σε κοινό σημείο των γραφι-
κών παραστάσεων των συναρτήσεων
f(x)=x -2x+2 και g(x)=-x +2x
2
2
β) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=e και g(x)=4-e λ - χ .
x
Nα βρεθεί ο λ , ώστε C f και C g να έχουν σε κάποιο
κοινό σημείο τους, κοινή εφαπτομένη.

α )
f'(x)=2x-2, g'(x)=-2x+2
Για να έχουμε κοινή εφα-
πτομένη:
f'(χ )= g'(χ )`
0 0
2χ -2 =-2χ +2 `
0
0
4χ -4 = 0`χ = 1
0
0
για το οποίο έχουμε
f(χ )= g(χ )`
0
0
χ 0 2 2χ +2=-χ 0 2 2χ `
0
0
1 2 2× 1+2=-1 2 2× 1 `
1=1 αληθεύει
άρα f(1)=1, f'(1)=0 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι
y-1=0(x-1)` y=1
β )
Αν Α(χ 0, y 0) σημείο των
C f και C g
f(x )= g(x )
0
0
f'(x )= g'(x )
0
0
e x 0 = 4-e λ - x 0
e x 0 =- e λ - x 0 (λ- x )'
0

e x 0 = 4-e λ - x 0
...
e x 0 = e λ - x 0

x 0 = ln2

ln2 2 = λ λ= ln4

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017