Page 98 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 98

3.
α) Δίνεται η συνάρτηση
x 2
f(x)= 2 και η ευθεία (ε): y= λ x-1- 2 , λ .
Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις οποίες η (ε) εφάπτε-
ται της C f.
β) Aν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και για κάθε
χ -{-1} ισχύει (1+χ)g(x)=5-x , να δειχτεί ότι η
2

ευθεία y=-2χ+4 εφάπτεται της καμπύλης y=g(x).

α )
Η f είναι παραγωγίσιμη στο
, με
x 2 2x
f'(x)= ' = = x (1)
2 2
Έστω Α(x 0, y 0) το σημείο
της C f που η εφαπτομένη
είναι η ευθεία (ε)
Τότε
x 2
0
y = 2
0
λ
y = λx -1-
0 0 2

x 0 2 = λx -1- λ x 2 -2λx +2+λ= 0 (2)
2 0 2 0 0
Επίσης, αφού η (ε) είναι εφαπτομένη:
(1)
f'(x )= λ x = λ (3)
0
0
Συνεπώς
η (2) λόγω της (3) γίνεται:
λ= 2
λ -2λ +2+λ=0 -λ +λ+2=0
2
2
2
λ=-1
β )
Είναι
[(1+x)g(x)]' =[5-x ]' (1+x)'g(x)+(1+x)g'(x)=- 2x
2

g(x)+(1+x)g'(x)=- 2 x

- 2x-g(x)
g'(x)=
1+x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017