Page 105 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 105

5.
Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύε ι
2χ -6χ+9 f(x) χ -2χ+5, για καθε χ
2
2
Να αποδ ε ίξετε ότι ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο ση-
μείο Μ(2, f(2)) της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

● Για χ=2 η δοσμένη σχέση
γίνεται
2 2 -6 2+9 f(2)
2
2 -2 2+5`
2
8-12+9 f(2) 4-4+5`
5 f(2) 5 `
f(2) = 5 (1)

● Για χ>2 η δοσμένη σχέση
γίνεται διαδοχικά
2 χ 2 -6χ+4 f(x)-5
χ -2χ`
2
2χ 2 6 4 f(x)-5 χ 2 2 `
2 χ-2 2

2 (χ 1 )( 2 ) f(x)-5 χ( 2 )
`
2 χ-2 2
f(x)-5
2 (χ 1 ) χ
χ-2
Από κριτήριο παρεμβολής έχουμε
f(x)-5 f(x)-f(2)
lim lim 2 ` f'(2)=2 (2)
x 2 χ-2 x 2 χ-2
Αφού
● lim [ 2(χ-1) ] 2(2-1)=2
x 2
● lim χ 2
x 2
● Για χ>2 με τον ίδιο τρόπο έχουμε f'(2)=2

Συνεπώς ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο Μ(2, f(2)) και
έχει ε ξ ίσωση
ε: y-5=2(x-2)` ε: y=2x+1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017